자연계열 3번

[논제 3](1)이등변삼각형들이 서로 합동이므로 $\displaystyle S_n$ = 삼각형 $\displaystyle A_1B_1A_2$의 넓이 × $\displaystyle n$이다.삼각형 $\displaystyle A_1B_1A_2$은 $\displaystyle \overline{A_1B_1}=\overline{A_2B_1}=a$이고 $\displaystyle \overline{A_1A_2}=\frac an$인 이등변삼각형이므로, 각 $\displaystyle A_1B_1A_2$를 $\displaystyle \theta$라 하면, 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\frac an}{\sin\theta}=\frac a{\sin\frac{\pi-\theta}2}$이고, $\displaystyle \sin\frac\theta2=\frac1{2n}$이다.또한 선분 $\displaystyle A_1A_{n+1}$의 길이가 $\displaystyle a$이므로 $\displaystyle 0<\theta\le\frac\pi3$이고,$\displaystyle \sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=2\frac1{2n}\sqrt{1-\frac1{4n^2}}=\frac{\sqrt{4n^2-1}}{2n^2}$이다.삼각형 $\displaystyle A_1B_1A_2$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\overline{A_1B_1}\ \overline{A_2B_1}\sin\theta=a^2\frac{\sqrt{4n^2-1}}{4n^2}$이고, 따라서 $\displaystyle S_n=a^2\frac{\sqrt{4n^2-1}}{4n}$이다. 그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a^2}2$이다.

[논제 3](2)오른쪽 그림과 같이 각각의 $\displaystyle i=1,2,\cdots,n-1$에 대하여, 선분 $\displaystyle A_1B_n$과 선분 $\displaystyle A_iB_i$가 만나는 점을 $\displaystyle C_i$라 하면(단, $\displaystyle C_1=A_1$) 삼각형 $\displaystyle A_1B_1B_n$과 삼각형 $\displaystyle C_iB_iB_n$은 닮은 삼각형이므로 닮음비에 의하여 $\displaystyle \overline{A_1B_1}:\overline{B_1B_n}=\overline{B_iC_i}:\overline{B_iB_n}$이다.또한 $\displaystyle \overline{A_1B_1}=a,\ \overline{B_iB_{i+1}}=\frac an$이므로, $\displaystyle \overline{B_1B_n}=\frac{n-1}na,\ \overline{B_iB_n}=\frac{n-i}na$이다. 이로부터 $\displaystyle \overline{B_iC_i}=\frac{n-i}{n-1}a$이다. …(a)

오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle i=1,2,\cdots,n-1$에 대하여 선분 $\displaystyle A_1B_n$과 선분 $\displaystyle A_{i+1}B_i$가 만나는 점을 각각 $\displaystyle D_i$라 하자. 또한 점 $\displaystyle A_1$을 지나고 선분 $\displaystyle A_2B_1$과 평행한 직선이 선분 $\displaystyle B_1B_n$의 연장선과 만나는 점을 $\displaystyle B_0$라 하자.각 $\displaystyle i=1,2,\cdots,n-1$에 대하여 삼각형 $\displaystyle A_1B_0B_n$과 삼각형 $\displaystyle D_iB_iB_n$은 닮은 삼각형이므로 닮음비에 의하여 $\displaystyle \overline{A_1B_0}:\overline{B_0B_n}=\overline{B_iD_i}:\overline{B_iB_n}$이다.또한 삼각형 $\displaystyle A_1B_0B_1$과 삼각형 $\displaystyle A_2B_1B_2$는 합동인 삼각형이므로 $\displaystyle \overline{A_1B_0}=a$이고 $\displaystyle \overline{B_0B_n}=a$이다.$\displaystyle \overline{B_iB_n}=\frac{n-i}na$이므로 $\displaystyle \overline{B_iD_i}=\frac{n-i}na$이다.…(b)

한편, [논제 3](1)에서 각 $\displaystyle A_1B_1A_2$를 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{4n^2-1}}{2n^2}$이므로, (a), (b)에 의하여삼각형 $\displaystyle B_iC_iD_i$의 넓이 $\displaystyle =\frac12\overline{B_iC_i}\ \overline{B_iD_i}\sin\theta=\frac12\frac{n-i}{n-1}a\times\frac{n-i}na\times\frac{\sqrt{4n^2-1}}{2n^2}=\frac{a^2\sqrt{4n^2-1}}{4n^3(n-1)}(n-i)^2$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}T_n&=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a^2\sqrt{4n^2-1}}{4n^3(n-1)}(n-i)^2=\frac{a^2\sqrt{4n^2-1}}{4n^3(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)^2\\&=\frac{a^2\sqrt{4n^2-1}}{4n^3(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}i^2=\frac{a^2\sqrt{4n^2-1}}{4n^3(n-1)}\frac{(n-1)n(2n-1)}6=\frac{(2n-1)\sqrt{4n^2-1}}{24n^2}a^2\end{aligned}$Comment. $\displaystyle T_n$의 식은 $\displaystyle n\ge2$일 때 성립한다. $\displaystyle n=1$이면 선분 $\displaystyle A_1B_1$이 삼각형의 한 변이므로 그 위에 남는 삼각형은 없고 $\displaystyle T_1=0$이다.이고,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)\sqrt{4n^2-1}}{24n^2}a^2=\frac{a^2}6$이다.