자연계열 4번

[논제 4](1)대칭성에 의해 $\displaystyle \overline{AB}\ge\overline{DE}$일 때를 생각하면 충분하다.오른쪽 그림과 같이 반원의 호를 연장하여 얻은 원에 대하여, 선분 AC의 연장선이 원과 만나는 점을 G, 선분 CE의 연장선이 원과 만나는 점을 F라 하자. 점 E를 지나고 선분 CD에 평행한 직선이 선분 AB와 만나는 점을 H, 이 직선이 원과 만나는 또 하나의 점을 I라 하자.

삼각형 AFI와 삼각형 EFI는 원에 내접하고 변 FI를 공통으로 가지고 있으므로 $\displaystyle \angle IAF=\angle IEF=\frac\pi4$이다. 따라서 삼각형 AHI는 $\displaystyle \angle AHI=\frac\pi2$이고 $\displaystyle \angle IAH=\frac\pi4$인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{AH}=\overline{HI}$이다.Caution. 삼각형을 다룰 때는 세 꼭짓점이 서로 다르고 한 직선 위에 놓이지 않는지 확인해야 한다: $\displaystyle a=b$이면 $\displaystyle A,H,I$가 같은 점이 되어 보조삼각형을 그대로 사용할 수 없다. 이 경우는 직접 확인하면 $\displaystyle a=b=\frac r{\sqrt2}$이고 같은 결론을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{AB}=\overline{BC}=a,\ \overline{CD}=\overline{DE}=b$라 하면, $\displaystyle \overline{HI}=\overline{AH}=a-b,\ \overline{EH}=a+b$이므로 $\displaystyle \overline{EI}=2a$이고, $\displaystyle \overline{EG}=2b$이다. 또한 $\displaystyle \angle IEG=\frac\pi2$이므로, 삼각형 IEG는 원에 내접하는 직각삼각형이다.따라서 선분 GI는 원의 중심을 지나므로 $\displaystyle \overline{GI}=2r$이며, $\displaystyle (\overline{EI})^2+(\overline{EG})^2=(\overline{GI})^2$이다.따라서 $\displaystyle a^2+b^2=r^2$이고, 두 삼각형의 넓이의 합은 $\displaystyle \frac{a^2}2+\frac{b^2}2=\frac{r^2}2$으로 항상 일정하므로, 두 삼각형의 넓이의 합의 최댓값은 $\displaystyle \frac{r^2}2$이다.

[논제 4](2)[논제 4](1)에서 $\displaystyle a^2+b^2=r^2$이고 $\displaystyle a,b\ge0$이므로 $\displaystyle a=\sqrt{r^2-b^2}$이다. 따라서 두 삼각형의 둘레의 길이의 합을 $\displaystyle b$로 표현하면 $\displaystyle f(b)=(2+\sqrt2)(b+\sqrt{r^2-b^2})$이다. 한편 $\displaystyle \overline{CD}=b$일 때, $\displaystyle 0\le\sqrt2b\le r$이므로, $\displaystyle 0\le b\le\frac r{\sqrt2}$이다.$\displaystyle 0<b<\frac r{\sqrt2}$인 경우 $\displaystyle f^{\prime}(b)=(2+\sqrt2)\left(1-\frac b{\sqrt{r^2-b^2}}\right)>0$이므로 $\displaystyle f(b)$는 $\displaystyle 0\le b\le\frac r{\sqrt2}$에서 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle f\left(\frac r{\sqrt2}\right)=(2+2\sqrt2)r$이 최대이고, 두 삼각형의 둘레의 길이의 합의 최댓값은 $\displaystyle (2+2\sqrt2)r$이다.