자연계열 2번

[논제 Ⅱ](1) 부분적분법을 이용하면,$\displaystyle \int x\sin x\,dx=x(-\cos x)-\int(-\cos x)\,dx=-x\cos x+\sin x+C$$\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$

(2) $\displaystyle f(x)=x\sin x$ 라 두고, 이 함수의 부정적분 중 하나를 $\displaystyle F(x)=-x\cos x+\sin x$ 라 하면, $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$ 이다. 이를 이용하면, 다음과 같이 부분적분법으로 계산할 수 있다.$\displaystyle \int x^2\sin x\,dx=\int xf(x)\,dx=\int xF^{\prime}(x)\,dx=xF(x)-\int F(x)\,dx$위에서 $\displaystyle F(x)$의 부정적분은 $\displaystyle x\cos x$의 부정적분의 결과를 이용하여,$\displaystyle \int F(x)\,dx=\int-x\cos x+\sin x\,dx=-x\sin x-\cos x-\cos x+C$이다.따라서,$\displaystyle \int x^2\sin x\,dx=(2-x^2)\cos x+2x\sin x+C$위의 함수를 $\displaystyle G(x)=(2-x^2)\cos x+2x\sin x+C$ 라 두고 이 중에서 닫힌구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 $\displaystyle x$축과 만나지 않는 함수들을 구하기 위하여, 함수의 그래프의 개형을 증가와 감소의 표를 이용하여 구해보면,

함수의 그래프가 닫힌구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 $\displaystyle x$축과 만나지 않기 위해서는 최댓값과 최솟값의 부호가 같아야 한다.따라서 $\displaystyle (\pi^2-2+C)(2-4\pi^2+C)>0$ 인 다음 부정적분 함수들에 대하여 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다.$\displaystyle G(x)=(2-x^2)\cos x+2x\sin x+C,\quad C<2-\pi^2$ 혹은 $\displaystyle C>4\pi^2-2$.