자연계열 1번

(1) 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$의 수직이등분선을 $\displaystyle m$이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$의 중점의 좌표는 $\displaystyle (4,2)$이고 직선 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$의 기울기가 $\displaystyle -\frac12$이므로 $\displaystyle m$의 기울기는 2이다. 따라서 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y=2x-6$이다.

한편 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=b$와 직선 $\displaystyle m$이 접하려면 이차방정식 $\displaystyle x^2-(2x-6)^2=b$, 즉 $\displaystyle 3x^2-24x+36+b=0$의 판별식이 0이어야 한다.따라서 $\displaystyle \frac D4=12^2-3\times(36+b)=0$이므로 $\displaystyle b=12$이다.

(2) $\displaystyle \mathrm P_n$과 $\displaystyle \mathrm Q_n$을 지나는 직선을 $\displaystyle l_n$이라 하자. 직선 $\displaystyle l_2$는 (1)에서 구한 직선 $\displaystyle m$이고 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle \mathrm P_2(3,0)$, $\displaystyle y$축과 $\displaystyle \mathrm Q_2(0,-6)$에서 만난다. 직선 $\displaystyle l_3$는 선분 $\displaystyle \mathrm P_2\mathrm Q_2$의 수직이등분선이므로 점 $\displaystyle \left(\frac32,-3\right)$을 지나고 기울기는 $\displaystyle -\frac12$이다. 따라서 직선 $\displaystyle l_3$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac12x-\frac94$이고 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle \mathrm P_3\left(-\frac92,0\right)$, $\displaystyle y$축과 $\displaystyle \mathrm Q_3\left(0,-\frac94\right)$에서 만난다.이제 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$의 넓이를 $\displaystyle S_n$이라 하면 $\displaystyle S_1=16,\ S_2=9,\ S_3=\frac{81}{16}$이다. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$들은 모두 서로 닮음이고, 연속하여 만들어지는 직각삼각형의 닮음비는 $\displaystyle \frac34$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle \left(\frac34\right)^2=\frac9{16}$이다.

따라서 $\displaystyle S_4$는 $\displaystyle \frac{729}{256}$이다. $\displaystyle A_1$은 첫째항이 $\displaystyle S_1=16$이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$인 등비급수의 합이다. 마찬가지로 $\displaystyle A_4$는 첫째항이 $\displaystyle S_2=9$이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$인 등비급수의 합, $\displaystyle A_3$은 첫째항이 $\displaystyle S_3=\frac{81}{16}$이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$인 등비급수의 합, $\displaystyle A_2$는 첫째항이 $\displaystyle S_4=\frac{729}{256}$이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$인 등비급수의 합이다. 따라서 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2+A_3+A_4$의 대소관계를 비교하기 위해, $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2+S_3+S_4$의 대소 관계를 비교하면,$\displaystyle S_1=16<9+\frac{81}{16}+\frac{729}{256}=S_2+S_3+S_4$따라서 $\displaystyle A_1<A_2+A_3+A_4$이고 주어진 명제는 거짓이다.