자연계열 1번

경희대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2024su/jayeon_1

[가] 두 직선 $\displaystyle l:y=mx+n,\ l^{\prime}:y=m^{\prime}x+n^{\prime}$ 에 대하여 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle l^{\prime}$ 이 서로 수직이면 $\displaystyle mm^{\prime}=-1$ 이다.거꾸로 $\displaystyle mm^{\prime}=-1$ 이면 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle l^{\prime}$ 이 서로 수직이다.[나] 첫째항이 $\displaystyle a\ (a\ne0)$ 이고 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ 은 $\displaystyle |r|<1$ 일 때, 수렴하고 그 합은 $\displaystyle \frac a{1-r}$ 이다.

[논제 Ⅰ] 좌표평면 위의 원점 $\displaystyle \mathrm O(0,0)$ 과 두 점 $\displaystyle \mathrm P_1(8,0),\ \mathrm Q_1(0,4)$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$ 의 수직이등분선이 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=b$ 와 접한다고 한다. 이때 $\displaystyle b$ 의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) 두 점 $\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm Q_1$ 에 대하여 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm Q_1$ 을 만든다. 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$ 의 수직이등분선이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm P_2,\mathrm Q_2$ 라 하고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_2\mathrm Q_2$ 를 만든다. 선분 $\displaystyle \mathrm P_2\mathrm Q_2$ 의 수직이등분선이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm P_3,\mathrm Q_3$ 라 하고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_3\mathrm Q_3$ 를 만든다. 선분 $\displaystyle \mathrm P_3\mathrm Q_3$ 의 수직이등분선이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm P_4,\mathrm Q_4$ 라 하고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_4\mathrm Q_4$ 를 만든다. 이와 같은 과정을 계속하여 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_5\mathrm Q_5,\ \mathrm{OP}_6\mathrm Q_6,\ \mathrm{OP}_7\mathrm Q_7,\cdots$ 을 만든다. 이때, 빗변의 중점이 제1사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 $\displaystyle A_1$ , 빗변의 중점이 제2사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 $\displaystyle A_2$ , 빗변의 중점이 제3사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 $\displaystyle A_3$ , 빗변의 중점이 제4사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 $\displaystyle A_4$ 라 하자. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하고, 그 근거를 논술하시오. (18점)

명제 : $\displaystyle A_1$ 은 $\displaystyle A_2+A_3+A_4$ 보다 크다.

해설강의 준비중

경희대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2024su/jayeon_1

+6점 · 선분의 중점, 기울기 등을 활용하여 수직이등분선을 이해한다.

(1) 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$ 의 수직이등분선을 $\displaystyle m$ 이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$ 의 중점의 좌표는 $\displaystyle (4,2)$ 이고 직선 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1$ 의 기울기가 $\displaystyle -\frac12$ 이므로 $\displaystyle m$ 의 기울기는 2이다. 따라서 직선 $\displaystyle m$ 의 방정식은 $\displaystyle y=2x-6$ 이다.

+6점 ·

\displaystyle b

의 값을 구한다.

한편 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=b$ 와 직선 $\displaystyle m$ 이 접하려면 이차방정식 $\displaystyle x^2-(2x-6)^2=b$ , 즉 $\displaystyle 3x^2-24x+36+b=0$ 의 판별식이 0이어야 한다.따라서 $\displaystyle \frac D4=12^2-3\times(36+b)=0$ 이므로 $\displaystyle b=12$ 이다.

+8점 · 연속하여 만들어지는 직각삼각형들이 닮았음을 확인한다.

(2) $\displaystyle \mathrm P_n$ 과 $\displaystyle \mathrm Q_n$ 을 지나는 직선을 $\displaystyle l_n$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle l_2$ 는 (1)에서 구한 직선 $\displaystyle m$ 이고 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle \mathrm P_2(3,0)$ , $\displaystyle y$ 축과 $\displaystyle \mathrm Q_2(0,-6)$ 에서 만난다. 직선 $\displaystyle l_3$ 는 선분 $\displaystyle \mathrm P_2\mathrm Q_2$ 의 수직이등분선이므로 점 $\displaystyle \left(\frac32,-3\right)$ 을 지나고 기울기는 $\displaystyle -\frac12$ 이다. 따라서 직선 $\displaystyle l_3$ 의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac12x-\frac94$ 이고 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle \mathrm P_3\left(-\frac92,0\right)$ , $\displaystyle y$ 축과 $\displaystyle \mathrm Q_3\left(0,-\frac94\right)$ 에서 만난다.이제 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$ 의 넓이를 $\displaystyle S_n$ 이라 하면 $\displaystyle S_1=16,\ S_2=9,\ S_3=\frac{81}{16}$ 이다. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$ 들은 모두 서로 닮음이고, 연속하여 만들어지는 직각삼각형의 닮음비는 $\displaystyle \frac34$ 이므로 넓이의 비는 $\displaystyle \left(\frac34\right)^2=\frac9{16}$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle A_1,A_2,A_3,A_4

등을 이용하여, 주어진 명제의 참, 거짓을 판별한다.

따라서 $\displaystyle S_4$ 는 $\displaystyle \frac{729}{256}$ 이다. $\displaystyle A_1$ 은 첫째항이 $\displaystyle S_1=16$ 이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$ 인 등비급수의 합이다. 마찬가지로 $\displaystyle A_4$ 는 첫째항이 $\displaystyle S_2=9$ 이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$ 인 등비급수의 합, $\displaystyle A_3$ 은 첫째항이 $\displaystyle S_3=\frac{81}{16}$ 이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$ 인 등비급수의 합, $\displaystyle A_2$ 는 첫째항이 $\displaystyle S_4=\frac{729}{256}$ 이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac9{16}\right)^4$ 인 등비급수의 합이다. 따라서 $\displaystyle A_1$ 과 $\displaystyle A_2+A_3+A_4$ 의 대소관계를 비교하기 위해, $\displaystyle S_1$ 과 $\displaystyle S_2+S_3+S_4$ 의 대소 관계를 비교하면, $\displaystyle S_1=16<9+\frac{81}{16}+\frac{729}{256}=S_2+S_3+S_4$ 따라서 $\displaystyle A_1<A_2+A_3+A_4$ 이고 주어진 명제는 거짓이다.

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