자연계열 3번

(1) 점 Q의 좌표를 $\displaystyle (x_{1},\ y_{1},\ 0)$이라 두면 점 P는 선분 AQ를 $\displaystyle 1:4$로 내분하는 점이므로$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{1\times x_{1}+4\times 0}{5},\ \frac{1\times y_{1}+4\times 0}{5},\ \frac{1\times 0+4\times 2}{5}\right)=\left(\frac{x_{1}}{5},\ \frac{y_{1}}{5},\ \frac{8}{5}\right)$점 P의 좌표는 $\displaystyle (a,\ a,\ b)$이므로, $\displaystyle x_{1}=y_{1}=5a$이고 $\displaystyle b=\frac{8}{5}$이다.

한편 점 P는 구 위의 점이므로 $\displaystyle a^{2}+a^{2}+(b-1)^{2}=1$이고 이를 풀면, $\displaystyle a=\frac{2\sqrt{2}}{5}$, $\displaystyle x_{1}=y_{1}=2\sqrt{2}$가 된다. 따라서 점 P의 좌표와 점 Q의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{2}}{5},\ \frac{2\sqrt{2}}{5},\ \frac{8}{5}\right)$, $\displaystyle (2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 0)$이다.

(2) 아래 그림과 같이 구 위의 점 R에서 $\displaystyle xy$평면에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}$이라 하면,

삼각형 ARQ의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영 $\displaystyle F$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}$이다. 이때, $\displaystyle F$의 넓이가 최대가 되려면 점 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}$은 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 위에 있는 점들 중 선분 $\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}$이 선분 OQ와 수직인 점이며, 점 R의 $\displaystyle z$좌표는 1이어야 한다. (그림에서와는 달리 반대편에도 R이 위치 할 수 있다.) 또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}}=\sqrt{17}$이 된다.

점 R에서 $\displaystyle z$축에 내린 수선의 발을 C라 하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AO}}^{2}+\overline{\mathrm{OQ}}^{2}}=2\sqrt{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AC}}^{2}+\overline{\mathrm{CR}}^{2}}=\sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{RR}^{\prime}}^{2}+\overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}}^{2}}=3\sqrt{2}$

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}^{2}=\overline{\mathrm{AR}}^{2}+\overline{\mathrm{RQ}}^{2}$이므로 삼각형 ARQ는 직각삼각형이고, 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{AR}}\times\overline{\mathrm{RQ}}=3$이다.한편 삼각형 ARQ의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}$의 넓이 $\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{OQ}}\times\overline{\mathrm{OR}^{\prime}}=2$이다. 따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\triangle\mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}}{\triangle\mathrm{ARQ}}=\frac{2}{3}$