자연계열 2번

(1) 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하자. 아래와 같이 앞면이 나온 동전 16개를 먼저 배열하고 첫 번째 H의 앞, 이웃한 두 H의 사이, 16번째 H의 뒤에 17개의 O표시를 하자.$\displaystyle \mathrm{O\ H\ O\ H}\ \cdots\ \mathrm{O\ H\ O}$

뒷면이 연속해서 나오지 않으려면 T는 O자리에 하나씩만 나올 수 있으므로 뒷면이 연속해서 나오지 않는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{17}\mathrm C_3=680$이다.

(2) 첫 번째 뒷면이 나오기 전에 나온 앞면의 수를 $\displaystyle x_1$, 첫 번째 뒷면과 두 번째 뒷면 사이에 나온 앞면의 수를 $\displaystyle x_2$, 두 번째 뒷면과 세 번째 뒷면 사이에 나온 앞면의 수를 $\displaystyle x_3$, 세 번째 뒷면 후에 나온 앞면의 수를 $\displaystyle x_4$라 하면 $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=16$이고,$\displaystyle x_1\ \mathrm T\ x_2\ \mathrm T\ x_3\ \mathrm T\ x_4$앞면이 항상 연속해서 두 번 이상 나오면서 뒷면이 연속해서 나오지 않으려면 $\displaystyle x_2\ge2,\ x_3\ge2$이어야 하고, $\displaystyle j=1,4$에 대하여 $\displaystyle x_j\ne0$이면 $\displaystyle x_j\ge2$이어야 한다. 따라서 다음 네 가지 경우가 가능하다.(i) $\displaystyle x_1=0,\ x_2,x_3,x_4\ge2$(ii) $\displaystyle x_4=0,\ x_1,x_2,x_3\ge2$(iii) $\displaystyle x_1=x_4=0,\ x_2,x_3\ge2$(iv) $\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4\ge2$

(i) $\displaystyle x_1=0,\ x_2,x_3,x_4\ge2$ 인 경우$\displaystyle x_2=y_2+2,\ x_3=y_3+2,\ x_4=y_4+2$라고 하면 $\displaystyle y_2+y_3+y_4=10$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 된다. 따라서 $\displaystyle {}_{3}\mathrm H_{10}={}_{12}\mathrm C_{10}=66$이다.(ii) $\displaystyle x_4=0,\ x_1,x_2,x_3\ge2$ 인 경우(i)과 같은 방법으로 구하면 66이다.(iii) $\displaystyle x_1=x_4=0,\ x_2,x_3\ge2$ 인 경우$\displaystyle x_2=y_2+2,\ x_3=y_3+2$라고 하면 $\displaystyle y_2+y_3=12$를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 된다.따라서 $\displaystyle {}_{2}\mathrm H_{12}={}_{13}\mathrm C_{12}=13$이다.(iv) $\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4\ge2$ 인 경우$\displaystyle x_1=y_1+2,\ x_2=y_2+2,\ x_3=y_3+2,\ x_4=y_4+2$라고 하면 $\displaystyle y_1+y_2+y_3+y_4=8$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 된다. 따라서 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_8={}_{11}\mathrm C_8=165$이다.(i)-(iv)에 의하여 앞면은 두 번 이상 연속해서 나오고 뒷면은 연속해서 나오지 않는 경우의 수는$\displaystyle 66+66+13+165=310$이다.