자연계열 1번

[논제 Ⅰ] (1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QFF}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times2c\times y_2=cy_2$ 이다.

한편, 점 P에서 선분 QF에 내린 수선의 발을 H라 하면, 삼각형 PQF의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{PH}}\times\overline{\mathrm{QF}}$이다. 그런데, $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}}=\sqrt{(c-x_2)^2+y_2^2}$이고, 점 Q와 점 F를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{-y_2}{c-x_2}(x-c)$이다. 따라서, 점과 직선사이의 거리공식에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\frac{|y_2x_1+(c-x_2)y_1-y_2c|}{\sqrt{y_2^2+(c-x_2)^2}}$그러므로,$\displaystyle \triangle\mathrm{PQF}=\frac12\times\sqrt{(c-x_2)^2+y_2^2}\times\frac{|x_1y_2-x_2y_1+c(y_1-y_2)|}{\sqrt{(c-x_2)^2+y_2^2}}=\frac12|x_1y_2-x_2y_1+c(y_1-y_2)|$

(2) $\displaystyle y_1=t,\ y_2=1$이므로, $\displaystyle x_1$과 $\displaystyle x_2$는 각각$\displaystyle x_1=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}t^2},\quad x_2=-\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}}$따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PFF}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times2c\times t=ct$이고,

삼각형 PQF의 넓이는 (1)에 의해$\displaystyle \frac12\left|\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}t^2}+\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}}t+c(t-1)\right|$

그러므로, 특히 $\displaystyle t>1$일 때,$\displaystyle R(t)=\frac{\frac12\left(\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}t^2}+\sqrt{a^2+\frac{a^2}{b^2}}t+c(t-1)\right)}{ct}=\frac{\frac12\left(a\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}+a\sqrt{1+\frac1{b^2}}t+c(t-1)\right)}{ct}$

이고, 따라서$\displaystyle \lim_{t\to\infty}R(t)=\frac{\frac12\left(\frac ab+a\sqrt{1+\frac1{b^2}}+c\right)}c=\frac12+\frac a{2bc}+\frac a{2c}\sqrt{1+\frac1{b^2}}$