자연계열 3번

[논제 Ⅲ] (1) 직선 $\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이고, 직선 $\displaystyle l_1$의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \mathrm Q_1\left(\frac a2,0\right)$이다.

따라서 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=\int_0^a x^2dx-\int_{a/2}^a(2ax-a^2)dx=\frac{a^3}{12}$

직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{2a}x+a^2+\frac12$이고, 점 $\displaystyle \mathrm P_2$의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle -\frac1{2a}x+a^2+\frac12=x^2$을 풀면 $\displaystyle x=-a-\frac1{2a}$이고, 따라서 $\displaystyle \mathrm P\left(-a-\frac1{2a},\left(a+\frac1{2a}\right)^2\right)$이다. 직선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=-2\left(a+\frac1{2a}\right)x-\left(a+\frac1{2a}\right)^2$이고, $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \mathrm Q_2\left(-\frac a2-\frac1{4a},0\right)$이므로,

넓이 $\displaystyle B$는$\displaystyle B=\int_{-a-\frac1{2a}}^0x^2dx-\int_{-a-\frac1{2a}}^{-\frac a2-\frac1{4a}}\left(-2\left(a+\frac1{2a}\right)x-\left(a+\frac1{2a}\right)^2\right)dx=\frac1{12}\left(a+\frac1{2a}\right)^3$

따라서 극한은 $\displaystyle \lim_{a\to0}AB=\lim_{a\to0}\frac1{144}\left(a^2+\frac12\right)^3=\frac1{1152}$

(2) 직선 $\displaystyle l_3$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{2b}x+b^2+\frac12$이고, 이 직선이 $\displaystyle \mathrm P_1(a,a^2)$을 지나므로, $\displaystyle a^2=-\frac a{2b}+b^2+\frac12$를 풀면, $\displaystyle a=b$ 또는 $\displaystyle a=-b-\frac1{2b}$이다. 이때 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle b<0$이므로, $\displaystyle a=-b-\frac1{2b}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle 2b^2+2ab+1=0$을 얻는다. 직선 $\displaystyle l_4$에 대해서도 같은 방법으로 $\displaystyle 2c^2+2ac+1=0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle b$와 $\displaystyle c$는 이차방정식 $\displaystyle 2x^2+2ax+1=0$의 두 실근이고, 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle b+c=-a,\ bc=\frac12$이다.

벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_3}=(b-a,b^2-a^2)$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_4}=(c-a,c^2-a^2)$의 내적은$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_3}\cdot\overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_4}=(b-a)(c-a)+(b^2-a^2)(c^2-a^2)=(a^2-(b+c)a+bc)\{1+a^2+(b+c)a+bc\}$따라서 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_3}\cdot\overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_4}=3a^2+\frac34$이고,

주어진 조건에 의해 $\displaystyle a=2$이다. 따라서 $\displaystyle b+c=-2$이다.