자연계열 3번

[논제 Ⅲ] 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm P_1(a,a^2)\ (a>0)$과 그 점에서의 접선 $\displaystyle l_1$을 생각하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm P_1$을 지나고 직선 $\displaystyle l_1$에 수직인 직선 $\displaystyle m$을 생각하자. 직선 $\displaystyle m$이 곡선 $\displaystyle y=x^2$과 만나는 점 중 $\displaystyle \mathrm P_1$이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm P_2$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm P_2$에서의 접선 $\displaystyle l_2$를 생각하자. 곡선 $\displaystyle y=x^2$과 직선 $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle A$, 곡선 $\displaystyle y=x^2$과 직선 $\displaystyle l_2$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle B$라 하자. 이때, 극한 $\displaystyle \lim_{a\to0}AB$를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (18점)

(2) 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P_3(b,b^2)\ (b<0)$과 $\displaystyle \mathrm P_4(c,c^2)\ (c<0)$을 생각하자. 점 $\displaystyle \mathrm P_3$을 지나고 점 $\displaystyle \mathrm P_3$에서의 접선에 수직인 직선을 $\displaystyle l_3$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm P_4$를 지나고 점 $\displaystyle \mathrm P_4$에서의 접선에 수직인 직선을 $\displaystyle l_4$라 하자. 직선 $\displaystyle l_3$과 $\displaystyle l_4$가 모두 점 $\displaystyle \mathrm P_1$을 지나고, 점 $\displaystyle \mathrm P_3$과 $\displaystyle \mathrm P_4$가 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_3}\cdot\overrightarrow{\mathrm P_1\mathrm P_4}=\frac{51}4$을 만족할 때, $\displaystyle b+c$를 구하고 그 근거를 논술하시오. (19점)Caution. 두 점 $\displaystyle \mathrm P_3$와 $\displaystyle \mathrm P_4$가 서로 다르다는 조건이 필요하다. 같은 점을 허용하면 $\displaystyle b$와 $\displaystyle c$를 이차방정식의 서로 다른 두 근으로 볼 수 없고, $\displaystyle b+c$도 $\displaystyle -2$로 정해지지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.