자연계열 2번

[논제 Ⅱ] (1) 한 변의 길이가 10인 정삼각형 BCD의 한 모서리 BC의 중점을 M이라고 하면, 선분 DM의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}=5\sqrt3$이다. 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 선분 DM을 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점이고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{HM}}=\frac13\overline{\mathrm{DM}}=\frac{5\sqrt3}3$.

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}\perp\overline{\mathrm{BC}},\ \overline{\mathrm{HM}}\perp\overline{\mathrm{BC}}$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{AMH}=\theta$이고 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{HM}}}{\overline{\mathrm{AM}}}=\frac{\sqrt3}3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}=5$이다.따라서 직각삼각형 ABM에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5\sqrt2$.

(2) 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\overline{\mathrm{DH}}$이고, 선분 DM을 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\frac23\overline{\mathrm{DM}}=\frac{10\sqrt3}3$이다. (1)에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5\sqrt2$이므로 직각삼각형 ABH에서$\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-\left(\frac{10\sqrt6}3\right)^2}=\frac{5\sqrt6}3.$Correction. 위 식의 $\displaystyle \frac{10\sqrt6}3$은 $\displaystyle \frac{10\sqrt3}3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편 사면체에 외접하는 구의 중심을 P라 하면, 사면체의 꼭짓점에서 구의 중심까지의 거리는 같아야 하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}$. 따라서 직각삼각형 PBH에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}^2+(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{AH}})^2=\overline{\mathrm{AP}}^2$이고, 구의 반지름의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{5\sqrt6}2$.