수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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경희대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2025mo/jayeon_2

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[다] 공간에서 직선 l\displaystyle l이 평면 α\displaystyle \alpha 위의 모든 직선과 수직일 때, 직선 l\displaystyle l과 평면 α\displaystyle \alpha는 서로 수직이라고 하며, 이것을 기호로 l⊥α\displaystyle l\perp\alpha와 같이 나타낸다.[라] 중심의 좌표가 (a,b,c)\displaystyle (a,b,c)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 구의 방정식은(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

[논제 Ⅱ] 다음 그림과 같이 BC‾=CD‾=DB‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{DB}}=10인 사면체가 있다. 꼭짓점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 H라고 하고, 평면 ABC와 평면 BCD가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 하자. 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이고, cos⁡θ=33\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3}3일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 선분 AB의 길이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (16점)

(2) 사면체에 외접하는 구의 반지름을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (17점)

사면체 ABCD와 높이 AH
해설강의 준비중

경희대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2025mo/jayeon_2

+8점 · 선분 HM의 길이를 구함.

[논제 Ⅱ] (1) 한 변의 길이가 10인 정삼각형 BCD의 한 모서리 BC의 중점을 M이라고 하면, 선분 DM의 길이는 DM‾=53\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}=5\sqrt3이다. 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 선분 DM을 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점이고, 따라서 HM‾=13DM‾=533\displaystyle \overline{\mathrm{HM}}=\frac13\overline{\mathrm{DM}}=\frac{5\sqrt3}3.

+8점 · 선분 AB의 길이를 구함.

이때 AM‾⊥BC‾, HM‾⊥BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}\perp\overline{\mathrm{BC}},\ \overline{\mathrm{HM}}\perp\overline{\mathrm{BC}}이므로 ∠AMH=θ\displaystyle \angle\mathrm{AMH}=\theta이고 cos⁡θ=HM‾AM‾=33\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{HM}}}{\overline{\mathrm{AM}}}=\frac{\sqrt3}3이므로 AM‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}=5이다.따라서 직각삼각형 ABM에서 AB‾=52\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5\sqrt2.

+8점 · 선분 AH의 길이를 구함

(2) 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 BH‾=DH‾\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\overline{\mathrm{DH}}이고, 선분 DM을 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점이므로 BH‾=23DM‾=1033\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=\frac23\overline{\mathrm{DM}}=\frac{10\sqrt3}3이다. (1)에 의해 AB‾=52\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5\sqrt2이므로 직각삼각형 ABH에서AH‾=(52)2−(1063)2=563.\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-\left(\frac{10\sqrt6}3\right)^2}=\frac{5\sqrt6}3.Correction. 위 식의 1063\displaystyle \frac{10\sqrt6}3은 1033\displaystyle \frac{10\sqrt3}3의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+9점 · 구의 중심 P에 대하여 AP‾=BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}를 이용, 직각삼각형 PBH로부터 반지름을 구함

한편 사면체에 외접하는 구의 중심을 P라 하면, 사면체의 꼭짓점에서 구의 중심까지의 거리는 같아야 하므로 AP‾=BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}. 따라서 직각삼각형 PBH에서 BH‾2+(AP‾−AH‾)2=AP‾2\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}^2+(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{AH}})^2=\overline{\mathrm{AP}}^2이고, 구의 반지름의 길이는 AP‾=562\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{5\sqrt6}2.

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