자연계열 1번

(1) 정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 4이고, 점 P는 변 AD의 중점이므로 선분 PD의 길이는 2이다. 원 $\displaystyle O_2$의 반지름을 $\displaystyle r$라고 할 때, $\displaystyle \angle\mathrm{DPR}=\frac\pi3,\ \angle\mathrm{DPO}_2=\frac\pi6$이므로, 선분 PD의 길이는 $\displaystyle r(\sqrt3+1)$이고, 따라서 $\displaystyle r=\sqrt3-1$. 또한 세 점 $\displaystyle \mathrm O_1,\mathrm O_2,\mathrm D$는 모두 한 직선 위에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm O_2}=\overline{\mathrm O_1\mathrm D}-\overline{\mathrm O_2\mathrm D}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm P}=\overline{\mathrm{PD}}=2$로부터 직각이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{PO}_1\mathrm D$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm D}=2\sqrt2,\ \overline{\mathrm O_2\mathrm D}=r\sqrt2=(\sqrt3-1)\sqrt2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm O_2}=2\sqrt2-(\sqrt3-1)\sqrt2=3\sqrt2-\sqrt6$

(2) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PX}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{QX}}-\overrightarrow{\mathrm{QP}})=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QX}}-\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}$이다. 이때, 정삼각형 PQR에서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QP}}|=2\sqrt3$이고, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QP}}$가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi3$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}||\overrightarrow{\mathrm{QP}}|\cos\frac\pi3=6$이다. 또한 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QX}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QX}}=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}||\overrightarrow{\mathrm{QX}}|\cos\theta=2\sqrt3|\overrightarrow{\mathrm{QX}}|\cos\theta$이다. 점 X를 직선 QR에 내린 수선의 발을 점 $\displaystyle \mathrm X^{\prime}$이라고 하면 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QX}}|\cos\theta$의 값은 선분 $\displaystyle \mathrm{QX}^{\prime}$의 길이이므로, 이 값이 최대가 되도록 하는 점 X는 원 $\displaystyle O_2$와 변 CD가 접하는 점이면 된다.

따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QX}}|\cos\theta=\overline{\mathrm{QX}^{\prime}}=2+\sqrt3$. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PX}}$의 최댓값은 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PX}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QX}}-\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}=2\sqrt3(2+\sqrt3)-6=4\sqrt3$