자연계열 2번

[논제 Ⅱ] (1) 점 Q가 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}$ 위를 움직이고, 선분 PQ의 길이가 2이므로, 점 P가 $\displaystyle x$축을 따라 $\displaystyle (-4,0)$에서 $\displaystyle (4,0)$까지 움직일 때, 점 Q는 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}$을 따라 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle (2,0)$까지 움직인다.

매개변수 $\displaystyle t\ (-4\le t\le4)$를 이용하여 점 P의 위치를 $\displaystyle \mathrm P(t,0)$이라 하면, 점 Q의 위치는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}$이므로 $\displaystyle \mathrm Q\left(\frac t2,\sqrt{4-\frac{t^2}4}\right)$이다.

점 R는 선분 PQ를 $\displaystyle 5:3$으로 외분하는 점이므로 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle \mathrm R\left(-\frac t4,\frac52\sqrt{4-\frac{t^2}4}\right)$이다.

따라서 점 R의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표 사이의 관계식은 $\displaystyle y=\frac52\sqrt{4-4x^2}$으로부터 $\displaystyle y=5\sqrt{1-x^2}\quad(-1\le x\le1)$

(2) $\displaystyle y=5-\frac{x^2}a$에서 $\displaystyle x^2=a(5-y)$를 $\displaystyle y=5\sqrt{1-x^2}$에 대입하면 $\displaystyle y=5\sqrt{1-5a+ay}$이다. 양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle y^2-25ay+125a-25=0$이고,$\displaystyle y^2-25ay+5(25a-5)=(y-5)(y-25a+5)=0$이다. 따라서 $\displaystyle y=5$ 또는 $\displaystyle y=25a-5$이다.

$\displaystyle y=5$일 때는 교점 $\displaystyle (0,5)$를 가진다. $\displaystyle y=25a-5$일 때는 $\displaystyle y=5\sqrt{1-x^2}$이 $\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle 0\le y\le5$이므로 $\displaystyle 0\le25a-5\le5$이고, 따라서 $\displaystyle \frac15\le a\le\frac25$이다.

$\displaystyle a=\frac25$이면 $\displaystyle y=5$가 되어서 교점이 $\displaystyle (0,5)$이므로 서로 다른 교점을 갖기 위해서는 $\displaystyle \frac15\le a<\frac25$.