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의·약학계 1번

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경희대 2026학년도 모의 의·약학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026mo/uiyak_1

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※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가] 두 사건 A,B\displaystyle A,B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은P(A∩B)=P(A)P(B)(단, P(A)>0, P(B)>0)\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B)\quad(\text{단, }\mathrm P(A)>0,\ \mathrm P(B)>0)

[논제 Ⅰ] 다음 그림과 같이 6개의 스위치 1, 2, 3, 4, 5, 6이 있는 전기 회로가 있다. 스위치가 켜져 있을 때만 스위치의 좌우로 전류가 흐른다. 각 스위치가 켜져 있을 확률은 p (0<p<1)\displaystyle p\ (0<p<1)이고, 각 스위치는 독립적으로 작동한다고 할 때 다음 물음에 답하시오.

스위치 여섯 개와 점 P, A, B가 표시된 전기 회로

(1) 위 그림의 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 전류가 흐를 확률을 두가지 방법 (a) 확률의 덧셈정리를 이용한 방법과 (b) 여사건의 확률을 이용한 방법으로 각각 구하고, 그 근거를 논술하시오. (13점)

(2) 위 그림에 전기 회로의 다른 부분에 닿지 않으면서 점 P와 점 A를 추가로 연결할 때 왼쪽에서 오른쪽으로 전류가 흐를 확률을 f(p)\displaystyle f(p)라 하자. 반면에, 위 그림에 전기 회로의 다른 부분에 닿지 않으면서 점 P와 점 B를 추가로 연결할 때 왼쪽에서 오른쪽으로 전류가 흐를 확률을 g(p)\displaystyle g(p)라 하자. f(p)<g(p)\displaystyle f(p)<g(p)인 p\displaystyle p의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2026학년도 모의 의·약학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026mo/uiyak_1

+5점 · 확률의 덧셈정리를 이용하여 전류가 흐를 확률을 구한다.

논제 Ⅰ-1(a) 확률의 덧셈정리를 이용하면,P(위가 연결되거나 아래가 연결됨)=P(위가 연결됨)+P(아래가 연결됨)−P(위, 아래가 모두 연결됨)=p3+p3−p6=2p3−p6.\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(\text{위가 연결되거나 아래가 연결됨})&=\mathrm P(\text{위가 연결됨})+\mathrm P(\text{아래가 연결됨})-\mathrm P(\text{위, 아래가 모두 연결됨})\\&=p^3+p^3-p^6=2p^3-p^6.\end{aligned}

+8점 · 여사건의 확률을 이용하여 전류가 흐를 확률을 구한다.

(b) P(위가 연결 안됨)=P(아래가 연결 안됨)=1−p3\displaystyle \mathrm P(\text{위가 연결 안됨})=\mathrm P(\text{아래가 연결 안됨})=1-p^3.위가 연결 안되는 사건과 아래가 연결이 안되는 사건이 독립이므로,P(위, 아래가 모두 연결 안됨)=(1−p3)2\displaystyle \mathrm P(\text{위, 아래가 모두 연결 안됨})=(1-p^3)^2.여사건을 생각하면,P(위가 연결되거나 아래가 연결됨)=1−(1−p3)2=1−(1−2p3+p6)=2p3−p6.\displaystyle \mathrm P(\text{위가 연결되거나 아래가 연결됨})=1-(1-p^3)^2=1-(1-2p^3+p^6)=2p^3-p^6.

+5점 · 확률의 곱셈정리와 독립을 이용하여 f(p)\displaystyle f(p)를 구한다.

논제 Ⅰ-2먼저 P와 A가 연결된 경우를 생각하자. 왼쪽 끝부터 선분 PA까지 전류가 흐를 확률은 2p−p2\displaystyle 2p-p^2이고, 선분 PA부터 오른쪽 끝까지 전류가 흐를 확률은 2p2−p4\displaystyle 2p^2-p^4이다. 두 사건이 독립이므로,f(p)=(2p−p2)(2p2−p4)=p3(2−p)(2−p2)\displaystyle f(p)=(2p-p^2)(2p^2-p^4)=p^3(2-p)(2-p^2)이다.

+5점 · 확률의 곱셈정리와 독립을 이용하여 g(p)\displaystyle g(p)를 구한다.

다음으로 P와 B가 연결된 경우를 생각하자. 왼쪽 끝부터 선분 PB까지 전류가 흐를 확률은 p+p2−p3\displaystyle p+p^2-p^3이고, 선분 PB부터 오른쪽 끝까지 전류가 흐를 확률도 p+p2−p3\displaystyle p+p^2-p^3이다. 두 사건이 독립이므로,g(p)=(p+p2−p3)2=p2(1+p−p2)2\displaystyle g(p)=(p+p^2-p^3)^2=p^2(1+p-p^2)^2이다.

+5점 · f(p)<g(p)\displaystyle f(p)<g(p)인 p\displaystyle p의 범위를 구한다.

따라서, f(p)−g(p)=p2(−1+2p−p2)=−p2(1−p)2\displaystyle f(p)-g(p)=p^2(-1+2p-p^2)=-p^2(1-p)^2이다.그러므로 0<p<1\displaystyle 0<p<1에서 f(p)−g(p)<0\displaystyle f(p)-g(p)<0, 즉, f(p)<g(p)\displaystyle f(p)<g(p)이다.　답: 0<p<1\displaystyle 0<p<1

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