의·약학계 1번

논제 Ⅰ-1(a) 확률의 덧셈정리를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(\text{위가 연결되거나 아래가 연결됨})&=\mathrm P(\text{위가 연결됨})+\mathrm P(\text{아래가 연결됨})-\mathrm P(\text{위, 아래가 모두 연결됨})\\&=p^3+p^3-p^6=2p^3-p^6.\end{aligned}$

(b) $\displaystyle \mathrm P(\text{위가 연결 안됨})=\mathrm P(\text{아래가 연결 안됨})=1-p^3$.위가 연결 안되는 사건과 아래가 연결이 안되는 사건이 독립이므로,$\displaystyle \mathrm P(\text{위, 아래가 모두 연결 안됨})=(1-p^3)^2$.여사건을 생각하면,$\displaystyle \mathrm P(\text{위가 연결되거나 아래가 연결됨})=1-(1-p^3)^2=1-(1-2p^3+p^6)=2p^3-p^6.$

논제 Ⅰ-2먼저 P와 A가 연결된 경우를 생각하자. 왼쪽 끝부터 선분 PA까지 전류가 흐를 확률은 $\displaystyle 2p-p^2$이고, 선분 PA부터 오른쪽 끝까지 전류가 흐를 확률은 $\displaystyle 2p^2-p^4$이다. 두 사건이 독립이므로,$\displaystyle f(p)=(2p-p^2)(2p^2-p^4)=p^3(2-p)(2-p^2)$이다.

다음으로 P와 B가 연결된 경우를 생각하자. 왼쪽 끝부터 선분 PB까지 전류가 흐를 확률은 $\displaystyle p+p^2-p^3$이고, 선분 PB부터 오른쪽 끝까지 전류가 흐를 확률도 $\displaystyle p+p^2-p^3$이다. 두 사건이 독립이므로,$\displaystyle g(p)=(p+p^2-p^3)^2=p^2(1+p-p^2)^2$이다.

따라서, $\displaystyle f(p)-g(p)=p^2(-1+2p-p^2)=-p^2(1-p)^2$이다.그러므로 $\displaystyle 0<p<1$에서 $\displaystyle f(p)-g(p)<0$, 즉, $\displaystyle f(p)<g(p)$이다.　답: $\displaystyle 0<p<1$