의·약학계 2번

논제 Ⅱ-1$\displaystyle \angle\mathrm{OAD}=\angle\mathrm{ADO}=\theta$이므로, $\displaystyle \angle\mathrm{BOD}=2\theta$이고, $\displaystyle \angle\mathrm{AOD}=\pi-2\theta$이다.영역 $\displaystyle S_1$의 넓이는 (부채꼴 AOD의 넓이)−(삼각형 AOD의 넓이)가 되기 때문에,$\displaystyle \frac12(\pi-2\theta)-\frac12\sin(\pi-2\theta)=\frac12\pi-\theta-\frac12\sin2\theta$이다. 영역 $\displaystyle S_2$의 넓이는 (삼각형 ABC의 넓이)−(삼각형 AOD의 넓이)−(부채꼴 BOD의 넓이)가 되기 때문에,$\displaystyle \frac12\times2\times2\tan\theta-\frac12\sin(\pi-2\theta)-\frac12\times2\theta=2\tan\theta-\frac12\sin2\theta-\theta$이다. 따라서, $\displaystyle f(\theta)=2\tan\theta-\sin2\theta-2\theta+\frac12\pi$ 이다.

이때, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2\sec^2\theta-2\cos2\theta-2$가 되는데, 제시문[나]에 의해$\displaystyle \cos2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2\cos^2\theta-1$이므로, 다음과 같이 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$를 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2\sec^2\theta-2\cos2\theta-2=\frac2{\cos^2\theta}-4\cos^2\theta=\frac{2(1-2\cos^4\theta)}{\cos^2\theta}$가 되고, $\displaystyle 1-2\cos^4\theta=(1+\sqrt2\cos^2\theta)(1+\sqrt[4]2\cos\theta)(1-\sqrt[4]2\cos\theta)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이 되는 $\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left(\text{단, }\frac\pi6\le\theta\le\frac\pi4\right)$를 $\displaystyle \theta_0$이라 하면, $\displaystyle \cos\theta_0=\frac1{\sqrt[4]2}$이다.

이때, $\displaystyle \cos\frac\pi6>\cos\theta_0>\cos\frac\pi4$이므로, $\displaystyle \frac\pi6<\theta_0<\frac\pi4$이다. 제시문[다]를 이용하면, $\displaystyle \theta<\theta_0$이면, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0$이므로 감소하고, $\displaystyle \theta>\theta_0$이면, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0$이므로 증가한다. 따라서, 다음 증감표를 이용하면, $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\theta_0$에서 극솟값을 갖기 때문에 최솟값이 된다.

한편, $\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}6+\frac\pi6$이고, $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=1$이므로, $\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)<f\left(\frac\pi4\right)$가 되어, $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$에서 최댓값을 갖는다. 따라서, $\displaystyle \alpha=\frac\pi4$이고, $\displaystyle \beta=\theta_0$이 되어,$\displaystyle \cos^4\alpha+\sin^2\beta=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^4+1-\cos^2\theta_0=\frac14+1-\frac1{\sqrt2}=\frac54-\frac{\sqrt2}2$이다.

논제 Ⅱ-2$\displaystyle f(\theta)=2\tan\theta-\sin2\theta-2\theta+\frac12\pi$이고, $\displaystyle \alpha=\frac\pi4$이고, $\displaystyle \beta=\theta_0$이다. 따라서,$\displaystyle I=\int_\alpha^\beta\left(f(\theta)+2\theta-\frac12\pi\right)d\theta=\int_{\pi/4}^{\theta_0}(2\tan\theta-\sin2\theta)d\theta$이다. 이때, 제시문[라]를 이용하면,$\displaystyle \int\tan\theta\,d\theta=\int\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta=-\int\frac{(\cos\theta)^{\prime}}{\cos\theta}\,d\theta=-\ln|\cos\theta|+C$가 된다. 따라서, $\displaystyle 2\tan\theta-\sin2\theta$의 부정적분인 $\displaystyle F(\theta)=-2\ln|\cos\theta|+\frac12\cos2\theta$가 되어, $\displaystyle I=F(\theta_0)-F\left(\frac\pi4\right)$이다.

$\displaystyle \cos\theta_0=\frac1{\sqrt[4]2}$이므로,$\displaystyle F(\theta_0)=-2\ln\cos\theta_0+\frac12\cos2\theta_0=-2\ln\frac1{\sqrt[4]2}+\frac12\left(2\times\frac1{\sqrt2}-1\right)=\frac12\ln2+\frac{\sqrt2}2-\frac12$이다.$\displaystyle F\left(\frac\pi4\right)=-2\ln\frac1{\sqrt2}=\ln2$이므로, $\displaystyle I=F(\theta_0)-F\left(\frac\pi4\right)=-\frac12\ln2+\frac{\sqrt2}2-\frac12$가 되어,$\displaystyle a=-\frac12,\ b=\frac12,\ c=-\frac12$가 된다.