자연계열 1번

(1) $\displaystyle f(x)=0$의 두 근이 $\displaystyle 0,-n$이므로, $\displaystyle f(x)=x(x+n)(x-c)$으로 놓을 수 있다. $\displaystyle g(x)=x(x-n)$이고, $\displaystyle h(x)$가 원점에서 미분가능하므로, $\displaystyle -cn=f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=-n$, 즉 $\displaystyle c=1$이다. 그러므로,

$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\sum_{k=1}^{n-1}(f(-k)-1)=\sum_{k=1}^{n-1}(-k^3+(n-1)k^2+nk-1)\\&=-\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2+\frac{n(n-1)^2(2n-1)}6+\frac{n^2(n-1)}2-n+1\end{aligned}$

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^{n-1}(-g(k)-1)=\sum_{k=1}^{n-1}(-k^2+nk-1)=-\frac{n(n-1)(2n-1)}6+\frac{n^2(n-1)}2-n+1$

따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n}=\left(-\frac14+\frac13\right)\div\frac16=\frac12$QtA. 왜 극한값이 $\displaystyle \frac12$일까?정수점을 하나씩 세는 대신 두 영역의 넓이를 적분으로 구해 보자. $\displaystyle n$이 커지면 이 문제의 $\displaystyle a_n,b_n$은 각각 $\displaystyle A_n,B_n$의 넓이로 어림할 수 있다. 두 넓이는 각각$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-n}^{0}f(x)\,dx&=\int_{-n}^{0}x(x+n)(x-1)\,dx=\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{6},\\\int_0^n\{-g(x)\}\,dx&=\int_0^nx(n-x)\,dx=\frac{n^3}{6}.\end{aligned}$격자점 개수와 해당 넓이의 비는 각각 $\displaystyle 1$로 가므로,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{6}}{n\cdot\frac{n^3}{6}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12+\frac1n\right)=\frac12.$즉, 두 넓이의 최고차항 계수 $\displaystyle \frac1{12}$와 $\displaystyle \frac16$의 비가 $\displaystyle \frac12$인 것이다.

(2) 점 $\displaystyle (-n,0)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=a(x+n)$이다. 이 직선이 곡선 $\displaystyle y=-g(x)$와 1사분면에서 접할 때 직선의 기울기를 $\displaystyle a_1$, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle (-n,0)$에서 접할 때 직선의 기울기를 $\displaystyle a_2$라 하자. $\displaystyle a$값에 따라 직선과 곡선 $\displaystyle y=h(x)$가 만나는 점의 개수는 다음 표와 같다.Correction. $\displaystyle y=h(x)$는 $\displaystyle y=|h(x)|$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

조건으로부터 $\displaystyle a_2=f^{\prime}(-n)=n^2+n$이다.

$\displaystyle a=a_1$이면, 직선과 곡선 $\displaystyle y=-g(x)$이 1사분면의 한 점에서 접해야 한다. 접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha$라 하면, 직선의 방정식은 $\displaystyle y=(n-2\alpha)(x-\alpha)-\alpha^2+n\alpha$이다. 이 직선이 점 $\displaystyle (-n,0)$을 지나므로 $\displaystyle \alpha^2+2n\alpha-n^2=0$이다. 이 방정식을 풀면 $\displaystyle \alpha>0$이므로, $\displaystyle \alpha=(\sqrt2-1)n$이다. 따라서, $\displaystyle a_1=n-2\alpha=(3-2\sqrt2)n$이다.