의·약학계 1번

(1) $\displaystyle p^2>4q$이므로, $\displaystyle \alpha,\beta$는 서로 다른 실수이다. 한편, $\displaystyle g(x)=x^2-px+q$라 하면, $\displaystyle g(0)=q>0,\ g(1)=1-p+q>0$이고, 대칭축 $\displaystyle x=\frac p2$이 0과 1사이에 있기 때문에, 두 근인 $\displaystyle \alpha,\beta$는 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$을 만족한다....(*)제시문 [가]를 이용하여 $\displaystyle f(x)$를 미분하여 계산하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\left(\frac{\alpha^n}{(x-\alpha)^2}+\frac{\beta^n}{(x-\beta)^2}\right)$이고, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2\left(\frac{\alpha^n}{(x-\alpha)^3}+\frac{\beta^n}{(x-\beta)^3}\right)$이 된다.그러면, $\displaystyle \left(\frac{x-\alpha}{\beta-x}\right)^3=\left(\frac\alpha\beta\right)^n$이므로, $\displaystyle \frac{x-\alpha}{\beta-x}=\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}$이다.이 식을 풀면, $\displaystyle a_n=\frac{\alpha+\beta\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}{1+\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}$이 된다.

여기에서 (*)에 의해 $\displaystyle 0<\frac\alpha\beta<1$이다.따라서, $\displaystyle a_n-\alpha=\frac{\alpha+\beta\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}{1+\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}-\alpha=\frac{(\beta-\alpha)\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}{1+\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}>0$이므로, $\displaystyle a_n>\alpha$이다.또한, $\displaystyle a_n-\beta=\frac{\alpha+\beta\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}{1+\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}-\beta=\frac{\alpha-\beta}{1+\left(\frac\alpha\beta\right)^{n/3}}<0$이므로, $\displaystyle a_n<\beta$이다.따라서, $\displaystyle a_n$은 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에 존재한다.

그리고, (*)에 의해 $\displaystyle 0<\frac\alpha\beta<1$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac\alpha\beta\right)^n=0$이 되어, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$가 된다.

(2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x\ne\alpha,\ x\ne\beta$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 연속이다.또한, $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\left(\frac{\alpha^n}{(x-\alpha)^2}+\frac{\beta^n}{(x-\beta)^2}\right)<0$가 되어, 제시문 [나]에 의해 모든 구간에서 감소이다. 그리고, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0,\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$이므로, $\displaystyle x$축이 점근선이 되고, 분모가 0이 되는 $\displaystyle x=\alpha,\ x=\beta$도 점근선이 된다.

위 그림을 보면 구간 $\displaystyle (-\infty,\alpha)$에서는 $\displaystyle f(x)<0$이므로, $\displaystyle y=k$와 만나지 않는다. 따라서, $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=k$는 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$와 구간 $\displaystyle (\beta,\infty)$에서 각각 한 번만 만난다. 이때, 두 교점의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle a,\ b$라 하자.

그러면, $\displaystyle f(x)>k$를 만족하는 구간은 $\displaystyle \alpha<x<a,\ \beta<x<b$가 된다. 따라서,$\displaystyle L_n=(a-\alpha)+(b-\beta)=(a+b)-(\alpha+\beta)$이다. 여기에서, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 $\displaystyle \alpha^n(x-\beta)+\beta^n(x-\alpha)=k(x-\alpha)(x-\beta)$의 두 근이 된다. 이 식을 정리하면,$\displaystyle kx^2-\{k(\alpha+\beta)+\alpha^n+\beta^n\}x+k\alpha\beta+\alpha^n\beta+\alpha\beta^n=0$이므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면,$\displaystyle a+b=\frac{k(\alpha+\beta)+\alpha^n+\beta^n}k=\alpha+\beta+\frac{\alpha^n+\beta^n}k$이다. 따라서, $\displaystyle L_n=(a+b)-(\alpha+\beta)=\frac{\alpha^n+\beta^n}k$이다.

여기에서, $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$이므로, 제시문 [다]에 의해 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n$은 수렴하고, 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n=\frac1k\left(\frac\alpha{1-\alpha}+\frac\beta{1-\beta}\right)=\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{k(1-\alpha)(1-\beta)}$이다. $\displaystyle \alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=q$이므로, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n=\frac{p-2q}{k(1-p+q)}$가 된다.