자연계열 2번

(1) 성장 지수가 2배가 되는 경우를 U, 성장지수가 $\displaystyle \frac12$배가 되는 경우를 D라고 하자.

따라서 성장 보너스의 기댓값은$\displaystyle \frac18\cdot\frac{160}3+\frac18\cdot\frac{16}3+\frac18\cdot\frac{40}3+\frac18\cdot\frac43=\frac{55}6$

(2) 문제 (1)에서 한 식물의 성장 보너스는 다음 값들을 가질 수 있다.$\displaystyle \begin{array}{c|c}\text{성장 보너스}&\text{확률}\\\hline0&4/8\\4/3&1/8\\16/3&1/8\\40/3&1/8\\160/3&1/8\end{array}$

두 식물은 서로 독립적으로 자라므로, 두 식물의 성장 보너스도 서로 독립이다. 동아리는 두 식물의 성장 보너스 중 더 큰 값을 선택한다.먼저 한 식물의 성장 보너스가 어떤 값 이하일 확률을 구한다.$\displaystyle \mathrm P(\text{보너스}\le0)=4/8,\ \mathrm P(\text{보너스}\le4/3)=5/8$$\displaystyle \mathrm P(\text{보너스}\le16/3)=6/8,\ \mathrm P(\text{보너스}\le40/3)=7/8,\ \mathrm P(\text{보너스}\le160/3)=1$두 식물의 보너스가 모두 어떤 값 이하일 확률은, 두 식물의 성장지수 변화가 독립이므로 각각의 확률을 곱하면 된다.1. 최종 보너스가 0일 확률- 두 식물의 보너스가 모두 0이어야 하므로 $\displaystyle \left(\frac48\right)^2=\frac{16}{64}$2. 최종 보너스가 4/3 일 확률- 두 보너스가 모두 4/3 이하이고, 둘 다 0 이하인 경우는 제외한다.$\displaystyle \left(\frac58\right)^2-\left(\frac48\right)^2=\frac9{64}$3. 최종 보너스가 16/3일 확률 $\displaystyle \left(\frac68\right)^2-\left(\frac58\right)^2=\frac{11}{64}$4. 최종 보너스가 40/3일 확률 $\displaystyle \left(\frac78\right)^2-\left(\frac68\right)^2=\frac{13}{64}$5. 최종 보너스가 160/3일 확률 $\displaystyle 1-\left(\frac78\right)^2=\frac{15}{64}$

따라서 $\displaystyle \frac43\cdot\frac9{64}+\frac{16}3\cdot\frac{11}{64}+\frac{40}3\cdot\frac{13}{64}+\frac{160}3\cdot\frac{15}{64}=\frac{261}{16}$이다.