의·약학계 2번

(1) 전략 A와 B의 비교확률변수 X (전략 A)전략 A는 첫 번째 카드를 무조건 선택한다. 첫 번째 카드는 5장 중 무엇이든 동일한 확률 1/5로 1등~5등이 될 수 있다.X의 확률분포표$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc|c}X&1&2&3&4&5&\text{합계}\\\hline P(X)&1/5&1/5&1/5&1/5&1/5&1\end{array}$기댓값$\displaystyle E(X)=1\cdot(1/5)+2\cdot(1/5)+3\cdot(1/5)+4\cdot(1/5)+5\cdot(1/5)=(1+2+3+4+5)/5=15/5=3$

확률변수 Y (전략 B)전략 B는 첫 번째 카드를 무조건 패스하고 참고용으로만 사용한다. 첫 번째 카드의 등수에 따라 경우를 나누어 분석한다.경우1: 첫 번째 카드가 1등인 경우1등보다 좋은 카드는 없으므로 두 번째~네 번째 카드는 선택되지 못한다. 따라서 마지막 카드를 받는다. 나머지 4장 {2,3,4,5} 중 어느 것이든 마지막 자리에 올 확률은 각각1/4이다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}Y&1&2&3&4&5\\\hline\text{조건부 확률}&0&1/4&1/4&1/4&1/4\end{array}$경우2: 첫 번째 카드가 2등인 경우2등보다 좋은 카드는 1등 뿐이다. 따라서 반드시 1등을 받는다.경우3: 첫 번째 카드가 3등인 경우3등보다 좋은 카드는 1등과 2등이다. 나머지 4장 안에서 1등과 2등 중 먼저 등장하는 카드가 선택된다. 각각이 먼저 나올 확률은1/2이다.경우4: 첫 번째 카드가 4등인 경우4등보다 좋은 카드는 1등, 2등, 3등이다. 나머지 4장 안에서 1등, 2등, 3등 중 먼저 등장하는 카드가 선택된다. 각각이 먼저 나올 확률은1/3이다.경우5: 첫 번째 카드가 5등인 경우5등보다 좋은 카드는 1등, 2등, 3등, 4등 이다. 나머지 4장 안에서 1등, 2등, 3등, 4등 중 먼저 등장하는 카드가 선택된다. 각각이 먼저 나올 확률은1/4이다.전체 확률 합산: 각 경우는 확률 1/5로 발생하므로$\displaystyle \begin{aligned}P(Y=1)&=(1/5)(0+1+1/2+1/3+1/4)=(1/5)\cdot(25/12)=5/12\\P(Y=2)&=(1/5)(1/4+0+1/2+1/3+1/4)=(1/5)\cdot(16/12)=4/15\\P(Y=3)&=(1/5)(1/4+0+0+1/3+1/4)=(1/5)\cdot(10/12)=1/6\\P(Y=4)&=(1/5)(1/4+0+0+0+1/4)=(1/5)\cdot(1/2)=1/10\\P(Y=5)&=(1/5)(1/4+0+0+0+0)=(1/5)\cdot(1/4)=1/20\end{aligned}$Y의 확률분포표$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc|c}Y&1&2&3&4&5&\text{합계}\\\hline P(Y)&5/12&4/15&1/6&1/10&1/20&1\end{array}$

기댓값$\displaystyle \begin{aligned}E(Y)&=1\cdot(5/12)+2\cdot(4/15)+3\cdot(1/6)+4\cdot(1/10)+5\cdot(1/20)\\&=(25+32+30+24+15)/60=126/60=21/10=2.1\end{aligned}$A와B의 기댓값 비교등수는 숫자가 작을수록 좋은 카드이므로 기댓값이 작을수록 평균적으로 더 좋은 등수를 받는 전략이다.$\displaystyle E(Y)=2.1<3=E(X)$이므로 전략 B가 평균적으로 더 좋은 등수를 얻는다.

(2) 전략 C의 기댓값과 비교전략 C는 처음 두 카드를 무조건 패스하고, 그 이후 두 카드 중 더 좋은 카드(즉, 등수가 더 작은 카드)보다 좋은 카드가 처음 나오면 선택한다.확률변수 Z (전략 C)처음 두 카드의 등수의 집합에 따라 경우를 나눈다. 5장 중 2장을 처음에 놓는 집합의 경우는 $\displaystyle {}_5\mathrm C_2=10$가지이며, 각 집합은 동일한 확률 1/10로 나타난다.경우1: 처음 두 카드의 집합이 1등을 포함하는 경우(확률 4/10 = 2/5)1등보다 좋은 카드가 없으므로 이후 어떤 카드도 선택되지 못한다. 따라서 마지막 카드를 받는다. 처음 두 자리에 {1, x} (x ∈{2,3,4,5})가 있을 때, 마지막 자리는 처음 두 카드 외 나머지 세 카드 중 하나가 균등하게 등장한다.경우2: 처음 두 카드의 집합이 1등을 포함하지 않고 2등을 포함하는 경우(확률 3/10)처음 두 카드 중 가장 좋은 등수는 2등. 따라서 반드시 1등을 받는다.경우3: 처음 두 카드의 집합이1, 2등을 포함하지 않고 3등을 포함하는 경우(확률 2/10 = 1/5)처음 두 카드 중 가장 좋은 등수는 3등. 1등과 2등 중 먼저 나오는 카드를 받는다. 대칭이므로 각각 확률1/2.경우4: 처음 두 카드의 집합이{4, 5}인 경우(확률1/10)1, 2, 3등 중 먼저 나오는 카드를 받는다. 대칭이므로 각각 확률1/3.Z의 확률분포 합산경우1에서 마지막 카드가 각 등수일 확률을 합산하면 $\displaystyle P(Z=k)=1/10\ (k=2,3,4,5)$.경우2: $\displaystyle P(Z=1)$에 3/10 기여.경우3: $\displaystyle P(Z=1),\ P(Z=2)$에 각각 $\displaystyle (1/5)\cdot(1/2)=1/10$ 기여.경우4: $\displaystyle P(Z=1),\ P(Z=2),\ P(Z=3)$에 각각 $\displaystyle (1/10)\cdot(1/3)=1/30$ 기여.$\displaystyle \begin{aligned}P(Z=1)&=3/10+1/10+1/30=(9+3+1)/30=13/30\\P(Z=2)&=1/10+1/10+1/30=(3+3+1)/30=7/30\\P(Z=3)&=1/10+1/30=(3+1)/30=2/15\\P(Z=4)&=1/10\\P(Z=5)&=1/10\end{aligned}$Z의 확률분포표$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc|c}Z&1&2&3&4&5&\text{합계}\\\hline P(Z)&13/30&7/30&2/15&1/10&1/10&1\end{array}$

기댓값$\displaystyle \begin{aligned}E(Z)&=1\cdot(13/30)+2\cdot(7/30)+3\cdot(2/15)+4\cdot(1/10)+5\cdot(1/10)\\&=(13+14+12+12+15)/30=66/30=11/5=2.2\end{aligned}$$\displaystyle E(Z)=2.2$기댓값 기준 A, B, C 비교$\displaystyle E(Y)<E(Z)<E(X),$등수는 작을수록 좋으므로, 기댓값 기준에서 전략 B가 가장 좋고, 그 다음 C, 가장 나쁜 것은 A이다.