자연계열 3번

(1) $\displaystyle \overline{\mathrm O_1O_2}=3,\overline{\mathrm O_1O_3}=4,\overline{\mathrm O_2O_3}=5$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_1O_2O_3$는 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm O_1O_2O_3=\frac12\times3\times4=6$이다.

점 $\displaystyle \mathrm O_1,\mathrm O_2,\mathrm O_3$에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm P_2,\mathrm P_3$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm P_1P_2}=2\sqrt2,\overline{\mathrm P_2P_3}=2\sqrt6,\overline{\mathrm P_1P_3}=2\sqrt3$이다. 한편, 코사인법칙에 의해,$\displaystyle \cos\angle\mathrm P_2P_1P_3=\frac{8+12-24}{2\times2\sqrt2\times2\sqrt3}=-\frac1{2\sqrt6}$따라서, $\displaystyle \sin\angle\mathrm P_2P_1P_3=\frac{\sqrt{23}}{2\sqrt6}$이며, 그러므로 $\displaystyle \triangle\mathrm P_1P_2P_3=\frac12\times2\sqrt2\times2\sqrt3\times\frac{\sqrt{23}}{2\sqrt6}=\sqrt{23}$이고,

$\displaystyle \cos\theta=\frac{\triangle\mathrm P_1P_2P_3}{\triangle\mathrm O_1O_2O_3}=\frac{\sqrt{23}}6$

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_2P_2A$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_1P_1A$는 서로 닮음이고, 닮음비가 $\displaystyle 2:1$이며, $\displaystyle \overline{\mathrm O_1O_2}=3$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm AO_2}=6$이다. 또한, 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_3P_3B$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_2P_2B$은 서로 닮음이고, 닮음비가 $\displaystyle 3:2$이며, $\displaystyle \overline{\mathrm O_3O_2}=5$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm BO_2}=10$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_1O_2O_3$는 직각삼각형이므로,$\displaystyle \cos\angle\mathrm AO_2B=\cos(\pi-\angle\mathrm O_3O_2O_1)=-\frac35$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=100+36-2\times10\times6\times\left(-\frac35\right)=208$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=4\sqrt{13}$이다. 한편, $\displaystyle \mathrm O_3$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm H$라 하면, $\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm O_3P_3}}{\overline{\mathrm O_3H}}$이고,$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{13}}6$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm O_3H}=\frac{18}{\sqrt{13}}$이다.따라서, $\displaystyle S_1=\triangle\mathrm O_3AB=\frac12\times4\sqrt{13}\times\frac{18}{\sqrt{13}}=36$이다.

한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm P_1P_2P_3$의 넓이가 $\displaystyle \sqrt{23}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm P_1P_2}=2\sqrt2$이므로, $\displaystyle \mathrm P_3$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_2$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{46}}2$이다. 또한, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_2}=\sqrt{\overline{\mathrm{AO}_2}^2-\overline{\mathrm O_2P_2}^2}=\sqrt{36-4}=4\sqrt2$이므로, $\displaystyle \triangle\mathrm P_3AP_2=\frac12\times4\sqrt2\times\frac{\sqrt{46}}2=2\sqrt{23}$이다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm O_3AO_2$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}_2}=6,\ \overline{\mathrm O_3O_2}=5,\ \cos\angle\mathrm O_3O_2A=\frac35$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}_3}^2=25+36-2\times5\times6\times\frac35=25$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}_3}=5$이고, 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_3}=4$이다. 그러므로, 점 $\displaystyle \mathrm P_2$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_3$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm H^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm P_2H^{\prime}}\times4=2\sqrt{23}$이고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm P_2H^{\prime}}=\sqrt{23}$이다. 이제, 삼수선의 정리에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm O_2H^{\prime}}\perp\overline{\mathrm{AP}_3}$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm O_2H^{\prime}}=\sqrt{\overline{\mathrm O_2P_2}^2+\overline{\mathrm P_2H^{\prime}}^2}=\sqrt{4+23}=3\sqrt3$이고, 따라서 $\displaystyle S_2=\triangle\mathrm P_3AO_2=\frac12\times4\times3\sqrt3=6\sqrt3$이다. 그러므로, $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{6\sqrt3}{36}=\frac{\sqrt3}6$