자연계열 I 1번

【1-1】직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 원 $\displaystyle C$가 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 원 $\displaystyle C$의 중심 $\displaystyle (2,1)$과의 거리가 반지름의 길이 1보다 작아야 한다. 즉, 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \frac{|1-M|}{\sqrt{1+\frac{M^2}4}}<1$이고, 이 부등식을 풀면 $\displaystyle 0<M<\frac83$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \beta-\alpha$의 값은 $\displaystyle \frac83$이므로, 구하는 값은 8이다.

【1-2】직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 원 $\displaystyle C$가 서로 다른 두 점에서 만날 확률은$\displaystyle \mathrm P\left(0<M<\frac83\right)=\mathrm P\left(0\le M\le\frac83\right)$이다. 이 확률을 $\displaystyle h(k)$라 하면,$\displaystyle h(k)=\begin{cases}1-\left(\frac2{4+k}+\frac2{9(4-k)}\right)&\left(0\le k\le\frac83\right)\\\frac{32}{9(k+4)}&\left(\frac83<k\le3\right)\end{cases}$이다. $\displaystyle 0<k<\frac83$에서 함수 $\displaystyle h(k)$의 도함수는$\displaystyle h^{\prime}(k)=\frac{16(k-2)(k-8)}{9(k-4)^2(k+4)^2}$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac83\right]$에서 함수 $\displaystyle h(k)$는 $\displaystyle k=2$에서 극댓값을 갖는다. 또한 $\displaystyle \frac83<k\le3$에서 함수 $\displaystyle h(k)$는 감소하므로, 함수 $\displaystyle h(k)$는 $\displaystyle k=2$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle c=2$이다.

참고$\displaystyle h(k)$를 구할 때, 구하는 부분의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하는 경우 함수 $\displaystyle h(k)$는$\displaystyle h(k)=\begin{cases}\frac13+\frac{k}{2(k+4)}+\frac{8-3k}{18(4-k)}&\left(0\le k\le\frac83\right)\\\frac{32}{9(k+4)}&\left(\frac83<k\le3\right)\end{cases}$이다.

【1-3】직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 원 $\displaystyle C$가 서로 다른 두 점에서 만나는 사건을 $\displaystyle A$, 두 교점과 점 $\displaystyle (2,1)$이 한 직선 위에 있거나 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 둔각삼각형이 되는 사건을 $\displaystyle B$라 하자. 그러면 사건 $\displaystyle A$가 일어날 확률은 $\displaystyle 0<M<\frac83$일 확률이므로, $\displaystyle \mathrm P(A)=h(2)=\frac59$가 된다.위 세 점이 삼각형을 이루는 경우 이 삼각형은 두 변의 길이가 1인 이등변삼각형이다. 이때 직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 점 $\displaystyle (2,1)$과의 거리가 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$일 때 직각삼각형이 되고, 직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 점$\displaystyle (2,1)$과의 거리가 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$보다 작으면, 두 교점과 점 $\displaystyle (2,1)$이 한 직선에 있거나 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 둔각삼각형이 된다. 즉,$\displaystyle \frac{|1-M|}{\sqrt{1+\frac{M^2}4}}<\frac{\sqrt2}2$이고, 이 부등식을 풀면 $\displaystyle \frac27<M<2$를 얻는다. 따라서$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P\left(\frac27<M<2\right)=\mathrm P\left(\frac27\le M\le2\right)=\frac{18}{49}$이므로, 구하는 확률은 다음의 조건부확률$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\frac{162}{245}$가 된다. 따라서 $\displaystyle m=162$이고 $\displaystyle n=245$이므로 $\displaystyle m+n=407$이다.

참고직선 $\displaystyle y=\frac M2x$와 원 $\displaystyle C$가 두 점에서 만날 때, 두 교점을 $\displaystyle \left(\alpha,\frac M2\alpha\right)$와 $\displaystyle \left(\beta,\frac M2\beta\right)$라 하자. 두 교점과 점 $\displaystyle (2,1)$이 한 직선 위에 있거나 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 둔각삼각형이 되기 위해서는 두 교점 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt2$보다 커야 하므로$\displaystyle (\alpha-\beta)^2+\left(\frac M2\alpha-\frac M2\beta\right)^2=\left(\frac{M^2}4+1\right)(\alpha-\beta)^2>2$가 성립한다. 여기서, $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 연립방정식 $\displaystyle y=\frac M2x$와 $\displaystyle (x-2)^2+(y-1)^2=1$의 해가 되므로, $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 이차방정식$\displaystyle (x-2)^2+\left(\frac M2x-1\right)^2=1$의 서로 다른 두 근이 된다. 이 식을 정리하면,$\displaystyle \left(\frac{M^2}4+1\right)x^2-(M+4)x+4=0$이 되므로 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{M+4}{\frac{M^2}4+1}$이고 $\displaystyle \alpha\beta=\frac4{\frac{M^2}4+1}$가 된다. 따라서$\displaystyle \left(\frac{M^2}4+1\right)(\alpha-\beta)^2=\left(\frac{M^2}4+1\right)\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}=\frac{(M+4)^2}{\frac{M^2}4+1}-16>2$이므로, 마지막 $\displaystyle M$에 대한 부등식을 풀면 $\displaystyle \frac27<M<2$을 얻는다.

【1-4】함수 $\displaystyle g(x)$는 0,1,2,3의 값을 가지므로 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle g(M)=0$일 때 $\displaystyle S=\pi$, $\displaystyle g(M)=1$일 때 $\displaystyle S=\frac\pi2$, $\displaystyle g(M)=2$일 때 $\displaystyle S=\frac\pi4-\frac12$, 그리고 $\displaystyle g(M)=3$일 때 $\displaystyle S=0$을 갖는다. 즉, 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle 0,\frac\pi4-\frac12,\frac\pi2,\pi$를 갖는 이산확률변수가 되며, 이때 각각의 확률은$\displaystyle \mathrm P(S=0)=\mathrm P(g(M)=3)=\mathrm P(M>2)=\mathrm P(M\ge2)=\frac14$$\displaystyle \mathrm P\left(S=\frac\pi4-\frac12\right)=\mathrm P(g(M)=2)=\mathrm P(1<M\le2)=\mathrm P(1\le M\le2)=\frac{11}{48}$$\displaystyle \mathrm P\left(S=\frac\pi2\right)=\mathrm P(g(M)=1)=\mathrm P(0<M\le1)=\mathrm P(0\le M\le1)=\frac9{48}$$\displaystyle \mathrm P(S=\pi)=\mathrm P(g(M)=0)=\mathrm P(M\le0)=\frac13$이 된다. 따라서 확률변수 $\displaystyle S$의 기댓값$\displaystyle \mathrm E(S)=0\times\frac14+\left(\frac\pi4-\frac12\right)\times\frac{11}{48}+\frac\pi2\times\frac9{48}+\pi\times\frac13=\frac{31}{64}\pi-\frac{11}{96}$이므로 $\displaystyle a=\frac{31}{64}$이고 $\displaystyle b=-\frac{11}{96}$이다. 따라서 $\displaystyle 192(a+b)$의 값은 71이다.