자연계열 II 1번

$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\left(h+\frac43\right)h^3}h=\lim_{h\to0^-}\left\{\left(h+\frac43\right)h^2\right\}=0,$

$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{\left(h+\frac83\right)h^3+(2-k)h^2}h=\lim_{h\to0^+}\left\{\left(h+\frac83\right)h^2+(2-k)h\right\}=0$

이 모두 존재하고 그 값이 같다. 따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(2)=0$이다.

【1-2】함수 $\displaystyle f(x)$를 범위 $\displaystyle x<2$ 및 $\displaystyle x>2$에서 각각 미분하면, 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}4(x-1)(x-2)^2&(x<2)\\4(x-2)\left\{(x-1)^2-\frac k2\right\}&(x\ge2)\end{cases}$

따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$가 극댓값을 갖기 위해서는 구간 $\displaystyle (2,\infty)$에서 $\displaystyle (x-1)^2-\frac k2$의 값의 부호가 음에서 양으로 바뀌어야 한다 (이때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극댓값을 가지게 된다). 즉, 방정식 $\displaystyle (x-1)^2-\frac k2=0$이 두 개의 서로 다른 실근을 갖고 그 중 큰 해가 2보다 커야 하므로, $\displaystyle k>0$ 및 $\displaystyle 1+\sqrt{\frac k2}>2$가 성립해야 한다. 이로부터 $\displaystyle k>2$일 때만 함수 $\displaystyle f(x)$가 극댓값을 가짐을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle \alpha=2$이다.

【1-3】식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}4(x-1)(x-2)^2&(x<2)\\4(x-2)\left\{(x-1)^2-\frac k2\right\}&(x\ge2)\end{cases}$로부터, 함수 $\displaystyle f(x)$의 극솟값은 $\displaystyle k\le2$일 때 $\displaystyle x=1$뿐이고, $\displaystyle k>2$일 때 $\displaystyle x=1$과 $\displaystyle x=1+\sqrt{\frac k2}$뿐임을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle f(0)=\frac{16}3,\ f(1)=-\frac13,\ f(3)=\frac{17}3-k$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$일 때 극솟값을 가지고 $\displaystyle f(1)=-\frac13$이므로, $\displaystyle \lim_{t\to(-\frac13)^+}g(t)-\lim_{t\to(-\frac13)^-}g(t)$의 값은 아래와 같다.▷ $\displaystyle 2<k<8$이고 $\displaystyle f\left(1+\sqrt{\frac k2}\right)=-\frac13$일 때, $\displaystyle \lim_{t\to(-\frac13)^+}g(t)-\lim_{t\to(-\frac13)^-}g(t)=4$▷ $\displaystyle f(3)=\frac{17}3-k=-\frac13$일 때 (즉, $\displaystyle k=6$일 때), $\displaystyle \lim_{t\to(-\frac13)^+}g(t)-\lim_{t\to(-\frac13)^-}g(t)=1$▷ 그 외의 경우, $\displaystyle \lim_{t\to(-\frac13)^+}g(t)-\lim_{t\to(-\frac13)^-}g(t)=2$$\displaystyle 2<k<8$이고 $\displaystyle f\left(1+\sqrt{\frac k2}\right)=-\frac13$일 때는 $\displaystyle g\left(-\frac13\right)=2$이고, $\displaystyle k=6$일 때는 $\displaystyle g\left(-\frac13\right)=3$이므로, 이들 경우는 식$\displaystyle \lim_{t\to(-\frac13)^+}g(t)-\lim_{t\to(-\frac13)^-}g(t)=g\left(-\frac13\right)\ \cdots\ ①$을 만족시키지 않는다. 따라서, 식 ①을 만족시키기 위해서는 $\displaystyle g\left(-\frac13\right)=2$이어야만 한다.$\displaystyle k<6$인 경우는 $\displaystyle f(3)=\frac{17}3-k>-\frac13$이므로, $\displaystyle g\left(-\frac13\right)=2$가 되기 위해서는 $\displaystyle f\left(1+\sqrt{\frac k2}\right)=-\frac13$이어야만 한다. 그러나 이 경우는 위에서 식 ①을 만족시키지 않음을 보였으므로, $\displaystyle k<6$인 경우는 식 ①을 만족시키지 않는다.$\displaystyle k>6$인 경우는 $\displaystyle f(3)=\frac{17}3-k<-\frac13$이므로, $\displaystyle g\left(-\frac13\right)=2$이다. 따라서, 식 ①을 만족시키기 위해서는 $\displaystyle k>6$이어야 한다.

또한, $\displaystyle k>6$인 경우 $\displaystyle g(c)=1$이며, $\displaystyle 1+\sqrt{\frac k2}<3$일 때 $\displaystyle \lim_{t\to c^+}g(t)-\lim_{t\to c^-}g(t)=2$이고, $\displaystyle 1+\sqrt{\frac k2}\ge3$일 때 $\displaystyle \lim_{t\to c^+}g(t)-\lim_{t\to c^-}g(t)=1$이다. 따라서, $\displaystyle k>6$인 경우 식$\displaystyle \lim_{t\to c^+}g(t)-\lim_{t\to c^-}g(t)>g(c)\ \cdots\ ②$를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle k<8$이어야 한다.종합하면, 두 식 ①, ②를 만족시키는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle 6<k<8$이다. 따라서, $\displaystyle \beta=6,\ \gamma=8$이다.