자연계열 I 2번

【2-1】 조건 (ㄱ)에서 $\displaystyle x=0$이고 $\displaystyle f(a)\ne0$이면 $\displaystyle \{f(a)\}^2<0$이므로 모순이다. 즉 $\displaystyle f(a)=0$이다.조건 (ㄱ)에서 $\displaystyle x=a-4$이면 조건 (ㄴ)에 의하여 $\displaystyle f(a+x)f(a-x)=f(2a-4)f(4)=0$이므로 대우 명제에 의하여 $\displaystyle f(2a-4)=f(a+x)=0$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=\{x-(2a-4)\}(x-a)(x-4)$이고 $\displaystyle 2a-4<a<4$이다.

$\displaystyle n(a)=\begin{cases}1&(a\le0)\\2&(0<a\le2)\\3&(2<a<4)\end{cases}$이므로

$\displaystyle \lim_{a\to2^+}n(a)=3,\ \lim_{a\to2^-}n(a)=2$이다.

【2-2】$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2f(x)\,dx&=\int_0^2\{x-(2a-4)\}(x-a)(x-4)\,dx\\&=\int_0^2\{x-(2a-4)\}\{x^2-(a+4)x+4a\}\,dx\\&=\int_0^2\{x^3-(a+4)x^2+4ax-(2a-4)x^2+(2a-4)(a+4)x-4a(2a-4)\}\,dx\\&=4-\frac83(a+4)+8a-\frac83(2a-4)+2(2a-4)(a+4)-8a(2a-4)\\&=-12a^2+40a-28=-12\left(a-\frac53\right)^2+\frac{16}3\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle a=\frac53$일 때 최대이므로 $\displaystyle 3a=5$이다.

(1) $\displaystyle a=2$이면 $\displaystyle g(x)=|f(x)f(-x)|=x^2|x-4||x-2||x+2||x+4|$

이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=b=4,2,-2,-4$에서 미분가능하지 않다.

방정식 $\displaystyle \frac{g(x)}{(x+4)^2}=kx\ (x\ne-4)$가 $\displaystyle x=0$을 포함한 서로 다른 실근의 개수가 3이므로 $\displaystyle k\ne0$이고 방정식 $\displaystyle x(x-4)^2=k$는 $\displaystyle 0,-4$가 아닌 서로 다른 실근의 개수는 2이다. 여기서 $\displaystyle h(x)=x(x-4)^2$이라 두면, 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 직선 $\displaystyle y=k$는 오직 두 점에서 만나고, 이 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0,-4$가 아니다.

$\displaystyle h^{\prime}(x)=(x-4)(3x-4)$

이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\frac43$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{256}{27}$, $\displaystyle x=4$에서 극솟값 0을 갖는다.

따라서 $\displaystyle k=\frac{256}{27}$이고,$\displaystyle \frac{27}{16}k=16$이다.