자연계열 I 3번

【3-1】$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\Biggl[-\sin x\cos x\Biggr]_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx=\int_0^{2\pi}(1-\sin^2x)\,dx$이므로 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi$이다.

【3-2】구간 $\displaystyle [x-2\pi,x]$에 속하는 상수 $\displaystyle c$에 대하여$\displaystyle h(x)=\int_{x-2\pi}^xg(t)\,dt=\int_c^xg(t)\,dt+\int_{x-2\pi}^cg(t)\,dt=\int_c^xg(t)\,dt-\int_c^{x-2\pi}g(t)\,dt$이다.이 등식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=g(x)-g(x-2\pi)=0$이다.따라서, 함수 $\displaystyle h(x)$는 상수함수이다.

【3-3】(1) 정적분 $\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt$에서 $\displaystyle x-t=u$로 놓으면 $\displaystyle (-1)\frac{dt}{du}=1$이고, $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle u=x$, $\displaystyle t=2\pi$일 때 $\displaystyle u=x-2\pi$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt&=-\int_x^{x-2\pi}f^{\prime}(u)\cos(x-u)\,du\\&=\int_{x-2\pi}^xf^{\prime}(u)(\cos x\cos u+\sin x\sin u)\,du\\&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)(\cos x\cos u+\sin x\sin u)\,du\\&=\cos x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos u\,du+\sin x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\sin u\,du\end{aligned}$이다.

그러면 조건 (ㄴ)으로부터 등식 $\displaystyle f(x)=(A\cos x+B\sin x)^2-\cos x+\alpha$를 얻을 수 있고, 이 등식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2(A\cos x+B\sin x)(-A\sin x+B\cos x)+\sin x\\&=-2AB\sin^2x+2(B^2-A^2)\sin x\cos x+2AB\cos^2x+\sin x\end{aligned}$이 성립한다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}B&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt\\&=\int_0^{2\pi}\{-2AB\sin^3t+2(B^2-A^2)\sin^2t\cos t+2AB\sin t\cos^2t+\sin^2t\}\,dt\\&=-2AB\int_0^{2\pi}\sin^3t\,dt+2(B^2-A^2)\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt+2AB\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt+\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt\end{aligned}$치환적분법을 이용하면 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^3t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt=0$이다.따라서, $\displaystyle B=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=\pi$.

(2)$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\cos t\,dt\\&=\int_0^{2\pi}\{-2AB\sin^2t\cos t+2(B^2-A^2)\sin t\cos^2t+2AB\cos^3t+\sin t\cos t\}\,dt\\&=-2AB\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt+2(B^2-A^2)\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt+2AB\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt\\&\quad+\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt\end{aligned}$

치환적분법을 이용하면$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=0$이다.즉, $\displaystyle A=0$이고,

따라서 $\displaystyle f(x)=(\pi\sin x)^2-\cos x+\alpha$이다.

이때, $\displaystyle f(0)=1$이므로 $\displaystyle \alpha=2$이다.