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자연계열 I 3번

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경북대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon1_3

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문제

[ 제시문 ]

(가) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고, f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx이다.

(나) 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\quad (단, a<x<b\displaystyle a<x<b)이다.

(다)sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

(라) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)일 때, α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt이다.

[ 문항 ]

【3-1】 ∫02πsin⁡2x dx\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx의 값을 구하시오. (20점)

【3-2】 연속함수 g(x)\displaystyle g(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여g(x)=g(x+2π)\displaystyle g(x)=g(x+2\pi)를 만족시킬 때, 함수 h(x)=∫x−2πxg(t) dt\displaystyle h(x)=\int_{x-2\pi}^xg(t)\,dt가 상수함수임을 증명하시오. (20점)

【3-3】 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 연속함수이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 x\displaystyle x에 대하여(ㄱ) f′(x)=f′(x+2π)\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x+2\pi)(ㄴ) f(x)=(∫02πf′(x−t)cos⁡t dt)2−cos⁡x+α\displaystyle f(x)=\left(\int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt\right)^2-\cos x+\alpha (단, α\displaystyle \alpha는 상수)

다음 물음에 답하시오.

(1) ∫02πf′(t)sin⁡t dt\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt의 값을 구하시오. (40점)

(2) f(0)=1\displaystyle f(0)=1일 때, 상수 α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon1_3

+10점 · ∫02πsin⁡2x dx=2π−∫02πsin⁡2x dx\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=2\pi-\int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx임을 유도하면

【3-1】∫02πsin⁡2x dx=[−sin⁡xcos⁡x]02π+∫02πcos⁡2x dx=∫02π(1−sin⁡2x) dx\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\Biggl[-\sin x\cos x\Biggr]_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx=\int_0^{2\pi}(1-\sin^2x)\,dx

+10점 · ∫02πsin⁡2x dx=π\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi을 구하면

이므로 ∫02πsin⁡2x dx=π\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi이다.

+10점 · h′(x)=g(x)−g(x−2π)\displaystyle h^{\prime}(x)=g(x)-g(x-2\pi)임을 보이면
+10점 · h′(x)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=0임을 증명하면

【3-2】구간 [x−2π,x]\displaystyle [x-2\pi,x]에 속하는 상수 c\displaystyle c에 대하여h(x)=∫x−2πxg(t) dt=∫cxg(t) dt+∫x−2πcg(t) dt=∫cxg(t) dt−∫cx−2πg(t) dt\displaystyle h(x)=\int_{x-2\pi}^xg(t)\,dt=\int_c^xg(t)\,dt+\int_{x-2\pi}^cg(t)\,dt=\int_c^xg(t)\,dt-\int_c^{x-2\pi}g(t)\,dt이다.이 등식의 양변을 x\displaystyle x에 대하여 미분하면 h′(x)=g(x)−g(x−2π)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=g(x)-g(x-2\pi)=0이다.따라서, 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 상수함수이다.

+10점 · ∫02πf′(x−t)cos⁡t dt=∫02πf′(u)cos⁡(x−u) du\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos(x-u)\,du임을 유도하면
+5점 · ∫02πf′(x−t)cos⁡t dt=cos⁡x∫02πf′(u)cos⁡u du+sin⁡x∫02πf′(u)sin⁡u du\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt=\cos x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos u\,du+\sin x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\sin u\,du임을 유도하면

【3-3】(1) 정적분 ∫02πf′(x−t)cos⁡t dt\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt에서 x−t=u\displaystyle x-t=u로 놓으면 (−1)dtdu=1\displaystyle (-1)\frac{dt}{du}=1이고, t=0\displaystyle t=0일 때 u=x\displaystyle u=x, t=2π\displaystyle t=2\pi일 때 u=x−2π\displaystyle u=x-2\pi이므로∫02πf′(x−t)cos⁡t dt=−∫xx−2πf′(u)cos⁡(x−u) du=∫x−2πxf′(u)(cos⁡xcos⁡u+sin⁡xsin⁡u) du=∫02πf′(u)(cos⁡xcos⁡u+sin⁡xsin⁡u) du=cos⁡x∫02πf′(u)cos⁡u du+sin⁡x∫02πf′(u)sin⁡u du\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}f^{\prime}(x-t)\cos t\,dt&=-\int_x^{x-2\pi}f^{\prime}(u)\cos(x-u)\,du\\&=\int_{x-2\pi}^xf^{\prime}(u)(\cos x\cos u+\sin x\sin u)\,du\\&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)(\cos x\cos u+\sin x\sin u)\,du\\&=\cos x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos u\,du+\sin x\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\sin u\,du\end{aligned}이다.

이때, 정적분 ∫02πf′(u)cos⁡u du, ∫02πf′(u)sin⁡u du\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos u\,du,\ \int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\sin u\,du는 상수이므로 각각 A=∫02πf′(u)cos⁡u du, B=∫02πf′(u)sin⁡u du\displaystyle A=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\cos u\,du,\ B=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(u)\sin u\,du라 두자.

+10점 · f′(x)=−2ABsin⁡2x+2(B2−A2)sin⁡xcos⁡x+2ABcos⁡2x+sin⁡x\displaystyle f^{\prime}(x)=-2AB\sin^2x+2(B^2-A^2)\sin x\cos x+2AB\cos^2x+\sin x을 구하면

그러면 조건 (ㄴ)으로부터 등식 f(x)=(Acos⁡x+Bsin⁡x)2−cos⁡x+α\displaystyle f(x)=(A\cos x+B\sin x)^2-\cos x+\alpha를 얻을 수 있고, 이 등식의 양변을 x\displaystyle x에 대하여 미분하면f′(x)=2(Acos⁡x+Bsin⁡x)(−Asin⁡x+Bcos⁡x)+sin⁡x=−2ABsin⁡2x+2(B2−A2)sin⁡xcos⁡x+2ABcos⁡2x+sin⁡x\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2(A\cos x+B\sin x)(-A\sin x+B\cos x)+\sin x\\&=-2AB\sin^2x+2(B^2-A^2)\sin x\cos x+2AB\cos^2x+\sin x\end{aligned}이 성립한다. 따라서

+15점 · ∫02πf′(t)sin⁡t dt=π\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt=\pi임을 구하면

B=∫02πf′(t)sin⁡t dt=∫02π{−2ABsin⁡3t+2(B2−A2)sin⁡2tcos⁡t+2ABsin⁡tcos⁡2t+sin⁡2t} dt=−2AB∫02πsin⁡3t dt+2(B2−A2)∫02πsin⁡2tcos⁡t dt+2AB∫02πsin⁡tcos⁡2t dt+∫02πsin⁡2t dt\displaystyle \begin{aligned}B&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt\\&=\int_0^{2\pi}\{-2AB\sin^3t+2(B^2-A^2)\sin^2t\cos t+2AB\sin t\cos^2t+\sin^2t\}\,dt\\&=-2AB\int_0^{2\pi}\sin^3t\,dt+2(B^2-A^2)\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt+2AB\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt+\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt\end{aligned}치환적분법을 이용하면 ∫02πsin⁡3t dt=∫02πsin⁡2tcos⁡t dt=∫02πsin⁡tcos⁡2t dt=0\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^3t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt=0이다.따라서, B=∫02πf′(t)sin⁡t dt=∫02πsin⁡2t dt=π\displaystyle B=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\sin t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=\pi.

+10점 · ∫02πf′(t)cos⁡t dt=−2AB∫02πsin⁡2tcos⁡t dt+2(B2−A2)∫02πsin⁡tcos⁡2t dt+2AB∫02πcos⁡3t dt+∫02πsin⁡tcos⁡t dt\displaystyle \int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\cos t\,dt=-2AB\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt+2(B^2-A^2)\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt+2AB\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt+\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt을 구하면

(2)A=∫02πf′(t)cos⁡t dt=∫02π{−2ABsin⁡2tcos⁡t+2(B2−A2)sin⁡tcos⁡2t+2ABcos⁡3t+sin⁡tcos⁡t} dt=−2AB∫02πsin⁡2tcos⁡t dt+2(B2−A2)∫02πsin⁡tcos⁡2t dt+2AB∫02πcos⁡3t dt+∫02πsin⁡tcos⁡t dt\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}f^{\prime}(t)\cos t\,dt\\&=\int_0^{2\pi}\{-2AB\sin^2t\cos t+2(B^2-A^2)\sin t\cos^2t+2AB\cos^3t+\sin t\cos t\}\,dt\\&=-2AB\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt+2(B^2-A^2)\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt+2AB\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt\\&\quad+\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt\end{aligned}

+10점 · A=0\displaystyle A=0을 구하면

치환적분법을 이용하면∫02πsin⁡2tcos⁡t dt=∫02πsin⁡tcos⁡2t dt=∫02πcos⁡3t dt=∫02πsin⁡tcos⁡t dt=0\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos^2t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=0이다.즉, A=0\displaystyle A=0이고,

+10점 · f(x)=(πsin⁡x)2−cos⁡x+α\displaystyle f(x)=(\pi\sin x)^2-\cos x+\alpha임을 구하면

따라서 f(x)=(πsin⁡x)2−cos⁡x+α\displaystyle f(x)=(\pi\sin x)^2-\cos x+\alpha이다.

+10점 · α=2\displaystyle \alpha=2를 구하면

이때, f(0)=1\displaystyle f(0)=1이므로 α=2\displaystyle \alpha=2이다.

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