자연계열 I 1번

【1-1】$\displaystyle 0<x<1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle \dfrac{f(x)-(1-x)^2}{x(1-x)}=a$이고 $\displaystyle \dfrac{g(x)-x^2}{x(1-x)}=b$이므로$\displaystyle f(x)=(1-x)^2+ax(1-x)$이고 $\displaystyle g(x)=x^2+bx(1-x)$이다.

두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이므로$\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0+}f(x)=1$, $\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1-}f(x)=0$, $\displaystyle g(0)=\lim_{x\to0+}g(x)=0$, $\displaystyle g(1)=\lim_{x\to1-}g(x)=1$이다. 그러므로 $\displaystyle f(0)-g(0)=1$, $\displaystyle f(1)-g(1)=-1$이다.

【1-2】(1) $\displaystyle f(x)-g(x)=(1-x)^2+ax(1-x)-x^2-bx(1-x)=-(a-b)x^2+(a-b-2)x+1=0$이므로 $\displaystyle tx^2-(t-2)x-1=0$의 $\displaystyle 0<x<1$인 근을 구한다.

(i) $\displaystyle t=a-b=0$일 때 $\displaystyle x$에 대한 일차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=-2x+1=0$의 근은 $\displaystyle x=\dfrac12$이다.

(ii) $\displaystyle t=a-b>0$일 때 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$의 근이 구간 $\displaystyle (-\infty,0)$과 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 각각 한 개씩 존재함을 보일 수 있다.

(iii) $\displaystyle t=a-b<0$일 때 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$의 근이 열린구간 $\displaystyle (0,1)$과 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 각각 한 개씩 존재함을 보일 수 있다.

(2) 미분계수의 정의에 의해$\displaystyle h^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\dfrac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0}\dfrac{-2+\sqrt{t^2+4}}{2t^2}=\lim_{t\to0}\dfrac1{2(\sqrt{t^2+4}+2)}=\dfrac18$

(3) 정적분의 정의와 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \int_1^4t^2h(t)\,dt=\dfrac12\int_1^4(t^2-2t+t\sqrt{t^2+4})\,dt=\dfrac12\Biggl[\dfrac13t^3-t^2+\dfrac13(t^2+4)^{\frac32}\Biggr]_1^4=3+\dfrac{35}6\sqrt5$