자연계열 I 1번

경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_1

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 열린구간에 속하는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 연속이라고 한다. 또한, 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=f(a),\quad\lim_{x\to b-}f(x)=f(b)$ 일 때, $\displaystyle f(x)$ 는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이라고 한다.

(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수는 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 일 때 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가 $\displaystyle \alpha,\beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle a,b$ 를 포함하는 구간에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라고 하면 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle b$ 까지의 정적분은 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

두 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속인 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle 0<x<1$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \dfrac{f(x)-(1-x)^2}{x(1-x)}=a,\quad\dfrac{g(x)-x^2}{x(1-x)}=b$ 이다.

다음 물음에 답하시오.

【1-1】 $\displaystyle f(0)-g(0)$ 과 $\displaystyle f(1)-g(1)$ 의 값을 각각 구하시오. (20점)

【1-2】 $\displaystyle t=a-b$ 일 때, $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$ 의 근 중 열린구간 $\displaystyle (0,1)$ 에 속하는 근을 $\displaystyle h(t)$ 라 하자.

(1) $\displaystyle h(t)=\begin{cases}\dfrac12&(t=0)\\\dfrac{t-2+\sqrt{t^2+4}}{2t}&(t\ne0)\end{cases}$ 임을 보이시오. (40점)

(2) $\displaystyle h^{\prime}(0)$ 의 값을 구하시오. (20점)

(3) $\displaystyle \int_1^4t^2h(t)\,dt$ 의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_1

+10점 ·

\displaystyle f(x)=(1-x)^2+ax(1-x)

이고

\displaystyle g(x)=x^2+bx(1-x)

임을 보이면

【1-1】 $\displaystyle 0<x<1$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해서 $\displaystyle \dfrac{f(x)-(1-x)^2}{x(1-x)}=a$ 이고 $\displaystyle \dfrac{g(x)-x^2}{x(1-x)}=b$ 이므로 $\displaystyle f(x)=(1-x)^2+ax(1-x)$ 이고 $\displaystyle g(x)=x^2+bx(1-x)$ 이다.

+10점 · 두 함수

\displaystyle f(x)

와

\displaystyle g(x)

가 닫힌구간

\displaystyle [0,1]

에서 연속인 것을 이용하여

\displaystyle f(0)-g(0)=1

\displaystyle f(1)-g(1)=-1

구하면

두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속이므로 $\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0+}f(x)=1$ , $\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1-}f(x)=0$ , $\displaystyle g(0)=\lim_{x\to0+}g(x)=0$ , $\displaystyle g(1)=\lim_{x\to1-}g(x)=1$ 이다. 그러므로 $\displaystyle f(0)-g(0)=1$ , $\displaystyle f(1)-g(1)=-1$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle f(x)-g(x)=-tx^2+(t-2)x+1

임을 보이면

【1-2】(1) $\displaystyle f(x)-g(x)=(1-x)^2+ax(1-x)-x^2-bx(1-x)=-(a-b)x^2+(a-b-2)x+1=0$ 이므로 $\displaystyle tx^2-(t-2)x-1=0$ 의 $\displaystyle 0<x<1$ 인 근을 구한다.

+10점 ·

\displaystyle t=0

일 때

\displaystyle h(t)=\dfrac12

임을 보이면

(i) $\displaystyle t=a-b=0$ 일 때 $\displaystyle x$ 에 대한 일차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=-2x+1=0$ 의 근은 $\displaystyle x=\dfrac12$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle t>0

일 때

\displaystyle h(t)=\dfrac{t-2+\sqrt{t^2+4}}{2t}

이고

\displaystyle 0<h(t)<1

임을 보이면

(ii) $\displaystyle t=a-b>0$ 일 때 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle x$ 에 대한 이차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$ 의 근이 구간 $\displaystyle (-\infty,0)$ 과 열린구간 $\displaystyle (0,1)$ 에서 각각 한 개씩 존재함을 보일 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle t<0

일 때

\displaystyle h(t)=\dfrac{t-2+\sqrt{t^2+4}}{2t}

이고

\displaystyle 0<h(t)<1

임을 보이면

(iii) $\displaystyle t=a-b<0$ 일 때 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle x$ 에 대한 이차방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$ 의 근이 열린구간 $\displaystyle (0,1)$ 과 구간 $\displaystyle (1,\infty)$ 에서 각각 한 개씩 존재함을 보일 수 있다.

그러므로 이차방정식의 근의 공식을 이용하면 함수 $\displaystyle h(t)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle h(t)=\begin{cases}\dfrac12&(t=0)\\\dfrac{t-2+\sqrt{t^2+4}}{2t}&(t\ne0)\end{cases}$

+10점 · 미분계수의 정의에 의해

\displaystyle h^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\dfrac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0}\dfrac{-2+\sqrt{t^2+4}}{2t^2}

임을 보이면

+10점 ·

\displaystyle \lim_{t\to0}\dfrac{-2+\sqrt{t^2+4}}{2t^2}=\lim_{t\to0}\dfrac1{2(\sqrt{t^2+4}+2)}=\dfrac18

을 구하면

(2) 미분계수의 정의에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\dfrac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0}\dfrac{-2+\sqrt{t^2+4}}{2t^2}=\lim_{t\to0}\dfrac1{2(\sqrt{t^2+4}+2)}=\dfrac18$

+5점 · [1-3] (3)

\displaystyle \int_1^4t^2h(t)\,dt=\dfrac12\int_1^4(t^2-2t+t\sqrt{t^2+4})\,dt

를 구하면

Correction. 채점표 마지막 소문항 번호 “[1-3] (3)”은 “[1-2] (3)”의 오기이다. 해당 기준은 1-2 (3)의 정적분을 계산하는 과정에 대응하며, 배점도 $\displaystyle 5+20+5=30$ 점으로 문제와 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.

+20점 · 적분의 성질과 치환적분법을 이용하여

\displaystyle \int(t^2-2t+t\sqrt{t^2+4})\,dt=\dfrac13t^3-t^2+\dfrac13(t^2+4)^{\frac32}+C

을 구하면

+5점 ·

\displaystyle \int_1^4t^2h(t)\,dt=\dfrac12\Biggl[\dfrac13t^3-t^2+\dfrac13(t^2+4)^{\frac32}\Biggr]_1^4=3+\dfrac{35}6\sqrt5

를 구하면

(3) 정적분의 정의와 치환적분법을 이용하면 $\displaystyle \int_1^4t^2h(t)\,dt=\dfrac12\int_1^4(t^2-2t+t\sqrt{t^2+4})\,dt=\dfrac12\Biggl[\dfrac13t^3-t^2+\dfrac13(t^2+4)^{\frac32}\Biggr]_1^4=3+\dfrac{35}6\sqrt5$

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