자연계열 II 1번

【1-1】함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2n-1$에서 미분가능하므로 (단, $\displaystyle n$은 자연수),$\displaystyle \lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n-1+h)-f(2n-1)}h=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(2n-1+h)-f(2n-1)}h$임을 알 수 있다. 한편, 문제의 조건 (Ⅰ)과 (Ⅱ)를 이용하면,$\displaystyle \lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n-1+h)-f(2n-1)}h=\lim_{h\to0+}(a_nh^3+b_nh+c_n)=c_n$$\displaystyle \lim_{h\to0-}\dfrac{f(2n-1+h)-f(2n-1)}h=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(2n-1-h)-f(2n-1)}h=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n-1+h)-f(2n-1)}{-h}=-c_n$이므로, $\displaystyle c_n=-c_n$, 즉, $\displaystyle c_n=0$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle c_{2023}=0$이다.

【1-2】함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2n$에서 미분가능하므로 (단, $\displaystyle n$은 자연수),$\displaystyle \lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n+h)-f(2n)}h=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(2n+h)-f(2n)}h$임을 알 수 있다. 한편, 문제의 조건 (Ⅰ)과 (Ⅱ)를 이용하면,$\displaystyle \lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n+h)-f(2n)}h=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(2n+2-h)-f(2n+2)}h=-(4a_{n+1}+2b_{n+1})$$\displaystyle \lim_{h\to0-}\dfrac{f(2n+h)-f(2n)}h=4a_n+2b_n$이므로, $\displaystyle -(2a_{n+1}+b_{n+1})=2a_n+b_n$임을 알 수 있다. 따라서,$\displaystyle (2a_n+b_n)(2a_{n+1}+b_{n+1})=-(2a_n+b_n)^2\le0$이다.

【1-3】(1) 문제의 조건에 의해, $\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}f(2-x)=f(2)=a_1+b_1+1=-1$이므로 $\displaystyle a_1=2$임을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle 2a_1+b_1=0$이다. 【1-2】에 의하여, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 2a_n+b_n=0$임을 알 수 있다.이로부터 $\displaystyle 2n-1\le x\le2n$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 (단, $\displaystyle n$은 자연수),$\displaystyle f(x)=a_n(x-2n+1)^4-2a_n(x-2n+1)^2+\dfrac1{2^{n-1}},$$\displaystyle f^{\prime}(x)=4a_n(x-2n+1)^3-4a_n(x-2n+1)=4a_n(x-2n+1)\{(x-2n+1)^2-1\}$이다. 그러므로,

$\displaystyle \begin{aligned}\int_2^{10}|f^{\prime}(x)|\,dx&=\int_2^3|f^{\prime}(x)|\,dx+\int_3^4|f^{\prime}(x)|\,dx+\cdots+\int_8^9|f^{\prime}(x)|\,dx+\int_9^{10}|f^{\prime}(x)|\,dx\\&=\int_2^3f^{\prime}(x)\,dx-\int_3^4f^{\prime}(x)\,dx+\cdots+\int_8^9f^{\prime}(x)\,dx-\int_9^{10}f^{\prime}(x)\,dx\\&=\{f(3)-f(2)\}-\{f(4)-f(3)\}+\cdots+\{f(9)-f(8)\}-\{f(10)-f(9)\}=\sum_{n=1}^42\left(\dfrac1{2^n}+1\right)=\dfrac{79}8\end{aligned}$이다. 따라서, $\displaystyle p+q=8+79=87$이다.

(2) 우선, $\displaystyle m(t)$를 구하자. $\displaystyle t\ge1$이면, $\displaystyle m(t)=0$이다. 또한, 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \dfrac1{2^k}\le t<\dfrac1{2^{k-1}}$이면, $\displaystyle m(t)=2k$임을 알 수 있다. 한편, 부등식 $\displaystyle \dfrac1{2^k}\le t<\dfrac1{2^{k-1}}$은 $\displaystyle -\log_2t\le k<-\log_2t+1$로 쓸 수 있다. 따라서, $\displaystyle 0<t<1$일 때, $\displaystyle -2\log_2t\le m(t)<2(-\log_2t+1)$이다. 이로부터 $\displaystyle 0<t<1$일 때,$\displaystyle 2\left(-1+\dfrac1{\log_2t}\right)<\dfrac{m(t)}{\log_2t}\le-2$가 성립함을 알 수 있다. $\displaystyle \lim_{t\to0+}2\left(-1+\dfrac1{\log_2t}\right)=-2$이므로, 함수의 극한의 대소관계에 의해 $\displaystyle \lim_{t\to0+}\dfrac{m(t)}{\log_2t}=-2$이다.