자연계열 II 2번

【2-1】$\displaystyle f(x+y)=2023^yf(x)+2023^xf(y)$에 $\displaystyle x=y=0$을 대입하면, $\displaystyle f(0)=0$을 얻을 수 있다.

$\displaystyle f(x+y)=2023^yf(x)+2023^xf(y)$에 $\displaystyle y=h$를 대입하면, $\displaystyle f(x+h)=2023^hf(x)+2023^xf(h)$이다. 양변에서 $\displaystyle f(x)$를 빼고 $\displaystyle h\ne0$인 $\displaystyle h$로 나누면 $\displaystyle f(0)=0$이므로$\displaystyle \dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\dfrac{2023^h-1}hf(x)+2023^x\dfrac{f(h)-f(0)}h$을 얻는다.

$\displaystyle h$를 $\displaystyle 0$으로 보내는 극한을 취하면,$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to0}\dfrac{2023^h-1}hf(x)+2023^x\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}h$을 얻고 미분계수 및 도함수의 정의에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln2023f(x)+2023^xf^{\prime}(0)$을 얻는다. 정리하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)-f(x)\ln2023=2023^xf^{\prime}(0)$이다.

【2-2】곱의 미분법에 의해 $\displaystyle \{2023^{-x}f(x)\}^{\prime}=-2023^{-x}\ln2023f(x)+2023^{-x}f^{\prime}(x)$이다.【2-1】에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)-f(x)\ln2023=2023^xf^{\prime}(0)$이므로$\displaystyle \{2023^{-x}f(x)\}^{\prime}=-2023^{-x}\ln2023f(x)+2023^{-x}f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)$이다.

$\displaystyle h(x)=2023^{-x}f(x)$이라 하면, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)$은 상수함수이므로$\displaystyle h(x)=f^{\prime}(0)x+C$이다. ($\displaystyle C$는 적분상수)

$\displaystyle h(0)=f(0)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이다. 따라서 $\displaystyle 2023^{-x}f(x)=h(x)=f^{\prime}(0)x$이고 $\displaystyle f(x)=f^{\prime}(0)x2023^x$이다.

$\displaystyle f(2023)=2023$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=2023^{-2023}$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x2023^{x-2023}$이다.

【2-3】$\displaystyle g(x+y)=2023^{xy(2x^2+3xy+2y^2)}g(x)g(y)$에 $\displaystyle x=y=0$을 대입하면 $\displaystyle g(0)=g(0)g(0)$이고 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서 함숫값 $\displaystyle g(x)$는 양의 실수이므로 $\displaystyle g(0)=1$이다.

$\displaystyle 2023^{xy(2x^2+3xy+2y^2)}=2023^{\frac{(x+y)^4}2-\frac{x^4}2-\frac{y^4}2}$이므로 조건 (Ⅱ)에 의해,$\displaystyle 2023^{-\frac{(x+y)^4}2}g(x+y)=2023^{-\frac{x^4}2}g(x)2023^{-\frac{y^4}2}g(y)$임을 알 수 있다.

$\displaystyle k(x)=\log_{2023}\left(2023^{-\frac{x^4}2}g(x)\right)$라 하면, $\displaystyle k(x+y)=k(x)+k(y)$가 모든 실수 $\displaystyle x,y$에 대해 성립한다.

$\displaystyle g(0)=1$이므로 $\displaystyle k(0)=\log_{2023}g(0)=0$이다.$\displaystyle k(x+h)-k(x)=k(h)-k(0)$이므로 $\displaystyle k^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{k(x+h)-k(x)}h$에서 $\displaystyle k^{\prime}(x)=k^{\prime}(0)$을 얻고 $\displaystyle k(0)=0$이므로 $\displaystyle k(x)=cx$인 상수 $\displaystyle c$가 존재한다.

$\displaystyle g(x)=2023^{\frac{x^4}2+cx}$이고 $\displaystyle g(2023)=2023$이므로 $\displaystyle c=-\dfrac{2023^3}2+\dfrac1{2023}$이다. $\displaystyle g(x)=2023^{\frac{x^4-2023^3x}2+\frac x{2023}}$이다.