자연계열 I 2번

경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_2

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2)$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle x_1\ne x_2$ 일 때, $\displaystyle y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

(나) 두 점 $\displaystyle (a,0)$ , $\displaystyle (0,b)$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \dfrac xa+\dfrac yb=1$ 이다. 또한, 두 직선 $\displaystyle \dfrac xa+\dfrac yb=1$ , $\displaystyle \dfrac xc+\dfrac yd=1$ 의 교점과 원점을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{\dfrac1a-\dfrac1c}{\dfrac1d-\dfrac1b}$ (단, $\displaystyle 0<a<c$ 이고 $\displaystyle 0<d<b$ )

(다) 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ ( $\displaystyle a\ne0$ 또는 $\displaystyle b\ne0$ ) 사이의 거리는 $\displaystyle \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(라) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ ( $\displaystyle g(x)\ne0$ )에 대하여 $\displaystyle \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}$

(마) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 최대·최소 정리에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 닫힌구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f(x)$ 의 극값, $\displaystyle f(a)$ , $\displaystyle f(b)$ 중에서 가장 큰 값이 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값이고, 가장 작은 값이 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

네 수열 $\displaystyle {a_n}$ , $\displaystyle {b_n}$ , $\displaystyle {c_n}$ , $\displaystyle {d_n}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여,(Ⅰ) $\displaystyle a_n=2n+8$ , $\displaystyle b_n=5n+10$ , $\displaystyle c_n=n+9$ (Ⅱ) $\displaystyle d_n$ 은 $\displaystyle 0<d_n<c_n$ 인 실수이다.

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 좌표평면 위에 원점 $\displaystyle \mathrm O$ 와 네 점 $\displaystyle \mathrm A_n(a_n,0)$ , $\displaystyle \mathrm B_n(b_n,0)$ , $\displaystyle \mathrm C_n(0,c_n)$ , $\displaystyle \mathrm D_n(0,d_n)$ 이 있다. 두 직선 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm C_n$ , $\displaystyle \mathrm B_n\mathrm D_n$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm E_n$ , 두 직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$ , $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm D_n$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm F_n$ , 직선 $\displaystyle \mathrm C_n\mathrm F_n$ 과 $\displaystyle x$ 축과의 교점을 $\displaystyle \mathrm G_n$ 이라 하자.다음 물음에 답하시오.

【2-1】 직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$ 의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{(\boxed{\text{ㄱ}}\,n+\boxed{\text{ㄴ}})(n+9)d_n}{10(n+2)(n+4)(n+9-d_n)}$ 이다. (ㄱ)과 (ㄴ)에 알맞은 자연수를 각각 구하시오. (30점)

【2-2】 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\overline{\mathrm A_n\mathrm G_n}}{\overline{\mathrm O\mathrm G_n}}$ 의 값을 구하시오. (40점)

【2-3】 삼각형 $\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle d_1$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 1\le d_1\le9$ ) (50점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_2

+10점 · 제시문 (나)를 이용하여 직선

\displaystyle \mathrm{OE}_n

의 기울기가

\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}

임을 구한다.

【2-1】제시문 (나)에 의하여 직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$ 의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(3n+2)(n+9)d_n}{10(n+2)(n+4)(n+9-d_n)}$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(3n+2)(n+9)d_n}{10(n+2)(n+4)(n+9-d_n)}

임을 이용하여 (ㄱ)=3, (ㄴ)=2를 구한다. (각 10점)

따라서 (ㄱ)=3, (ㄴ)=2이다.

+15점 · 제시문 (나)를 이용하여 직선

\displaystyle \mathrm{OF}_n

의 기울기가

\displaystyle \dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}

임을 구한다.

【2-2】점 $\displaystyle \mathrm G_n$ 의 좌표를 $\displaystyle (g_n,0)$ 이라하면, 제시문 (나)에 의하여 직선 $\displaystyle \mathrm{OF}_n$ 의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}$ 이다.

+15점 ·

\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}

을 이용하여

\displaystyle g_n=\dfrac{a_nb_n}{2b_n-a_n}=\dfrac{5(n+2)(n+4)}{4n+6}

을 구한다.

직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$ 과 직선 $\displaystyle \mathrm{OF}_n$ 의 기울기는 같으므로, $\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}$ 이고 $\displaystyle g_n=\dfrac{a_nb_n}{2b_n-a_n}=\dfrac{5(n+2)(n+4)}{4n+6}$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\overline{\mathrm A_n\mathrm G_n}}{\overline{\mathrm O\mathrm G_n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+2}{5n+10}=\dfrac35

를 구한다.

$\displaystyle \mathrm A_n(2n+8,0)$ , $\displaystyle \mathrm B_n(5n+10,0)$ , $\displaystyle \mathrm G_n\left(\dfrac{5(n+2)(n+4)}{4n+6},0\right)$ 이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\overline{\mathrm A_n\mathrm G_n}}{\overline{\mathrm O\mathrm G_n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+2}{5n+10}=\dfrac35$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \mathrm E_1\left(\dfrac{15(10-d_1)}{15-d_1},\dfrac{5d_1}{15-d_1}\right)

을 구한다.

【2-3】직선 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm C_1$ 과 직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$ 의 교점은 $\displaystyle \mathrm E_1\left(\dfrac{15(10-d_1)}{15-d_1},\dfrac{5d_1}{15-d_1}\right)$

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm D_1\mathrm E_1}=\dfrac{10-d_1}{15-d_1}\sqrt{15^2+d_1^2}

을 구한다.

이고, $\displaystyle \overline{\mathrm D_1\mathrm E_1}=\dfrac{10-d_1}{15-d_1}\sqrt{15^2+d_1^2}$ 이다.

+10점 · 점

\displaystyle \mathrm G_1\left(\dfrac{15}2,0\right)

과 직선

\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1

사이의 거리는

\displaystyle \dfrac{15d_1}{2\sqrt{15^2+d_1^2}}

임을 구한다.

직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$ 의 방정식은 $\displaystyle d_1x+15y-15d_1=0$ 이므로, 점 $\displaystyle \mathrm G_1\left(\dfrac{15}2,0\right)$ 과 직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$ 사이의 거리는 $\displaystyle \dfrac{15d_1}{2\sqrt{15^2+d_1^2}}$ 이다.

+10점 · 삼각형

\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1

의 넓이를

\displaystyle d_1

(

\displaystyle 1\le d_1\le9

)에 대한 함수

\displaystyle f(d_1)=\dfrac{15d_1(10-d_1)}{4(15-d_1)}

로 구한다.

따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1$ 의 넓이는 $\displaystyle \dfrac{15d_1(10-d_1)}{4(15-d_1)}$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle f^{\prime}(d_1)=\dfrac{15(d_1^2-30d_1+150)}{4(15-d_1)^2}

이고

\displaystyle f^{\prime}(15-5\sqrt3)=0

을 구한다. 또한,

\displaystyle 1<d_1<15-5\sqrt3

일 때

\displaystyle f^{\prime}(d_1)>0

이고,

\displaystyle 15-5\sqrt3<d_1<9

일 때

\displaystyle f^{\prime}(d_1)<0

이므로

$\displaystyle f(d_1)=\dfrac{15d_1(10-d_1)}{4(15-d_1)}$ 을 $\displaystyle d_1$ ( $\displaystyle 1\le d_1\le9$ )에 대한 함수라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)=\dfrac{15(d_1^2-30d_1+150)}{4(15-d_1)^2}$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(15-5\sqrt3)=0$ 이다. 또한, $\displaystyle 1<d_1<15-5\sqrt3$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)>0$ 이고, $\displaystyle 15-5\sqrt3<d_1<9$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)<0$

+10점 ·

\displaystyle f

는 극댓값

\displaystyle f(15-5\sqrt3)=\dfrac{25(3-\sqrt3)^2}4

을 가지고,

\displaystyle f(1)=\dfrac{135}{56}(<f(15-5\sqrt3))

\displaystyle f(9)=\dfrac{45}8(<f(15-5\sqrt3))

이므로

\displaystyle d_1=15-5\sqrt3

일 때, 삼각형

\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1

의 넓이가 최대임을 구한다.

이므로 $\displaystyle d_1=15-5\sqrt3$ 일 때, 함수 $\displaystyle f$ 는 극댓값 $\displaystyle f(15-5\sqrt3)=\dfrac{25(3-\sqrt3)^2}4$ 을 가진다. $\displaystyle f(1)=\dfrac{135}{56}(<f(15-5\sqrt3))$ 이고 $\displaystyle f(9)=\dfrac{45}8(<f(15-5\sqrt3))$ 이므로 $\displaystyle d_1=15-5\sqrt3$ 일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1$ 의 넓이가 최대이다.

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