자연계열 I 2번

【2-1】제시문 (나)에 의하여 직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$의 기울기는$\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(3n+2)(n+9)d_n}{10(n+2)(n+4)(n+9-d_n)}$이다.따라서 (ㄱ)=3, (ㄴ)=2이다.

【2-2】점 $\displaystyle \mathrm G_n$의 좌표를 $\displaystyle (g_n,0)$이라하면, 제시문 (나)에 의하여 직선 $\displaystyle \mathrm{OF}_n$의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{OE}_n$과 직선 $\displaystyle \mathrm{OF}_n$의 기울기는 같으므로, $\displaystyle \dfrac{(b_n-a_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_nb_n}=\dfrac{(a_n-g_n)c_nd_n}{(c_n-d_n)a_ng_n}$이고$\displaystyle g_n=\dfrac{a_nb_n}{2b_n-a_n}=\dfrac{5(n+2)(n+4)}{4n+6}$이다.

$\displaystyle \mathrm A_n(2n+8,0)$, $\displaystyle \mathrm B_n(5n+10,0)$, $\displaystyle \mathrm G_n\left(\dfrac{5(n+2)(n+4)}{4n+6},0\right)$이므로,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\overline{\mathrm A_n\mathrm G_n}}{\overline{\mathrm O\mathrm G_n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+2}{5n+10}=\dfrac35$이다.

【2-3】직선 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm C_1$과 직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$의 교점은 $\displaystyle \mathrm E_1\left(\dfrac{15(10-d_1)}{15-d_1},\dfrac{5d_1}{15-d_1}\right)$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm D_1\mathrm E_1}=\dfrac{10-d_1}{15-d_1}\sqrt{15^2+d_1^2}$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$의 방정식은 $\displaystyle d_1x+15y-15d_1=0$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm G_1\left(\dfrac{15}2,0\right)$과 직선 $\displaystyle \mathrm B_1\mathrm D_1$ 사이의 거리는 $\displaystyle \dfrac{15d_1}{2\sqrt{15^2+d_1^2}}$이다.

따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1$의 넓이는 $\displaystyle \dfrac{15d_1(10-d_1)}{4(15-d_1)}$이다.

$\displaystyle f(d_1)=\dfrac{15d_1(10-d_1)}{4(15-d_1)}$을 $\displaystyle d_1$ ($\displaystyle 1\le d_1\le9$)에 대한 함수라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)=\dfrac{15(d_1^2-30d_1+150)}{4(15-d_1)^2}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(15-5\sqrt3)=0$이다. 또한, $\displaystyle 1<d_1<15-5\sqrt3$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)>0$이고, $\displaystyle 15-5\sqrt3<d_1<9$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(d_1)<0$이므로 $\displaystyle d_1=15-5\sqrt3$일 때, 함수 $\displaystyle f$는 극댓값 $\displaystyle f(15-5\sqrt3)=\dfrac{25(3-\sqrt3)^2}4$을 가진다.$\displaystyle f(1)=\dfrac{135}{56}(<f(15-5\sqrt3))$이고 $\displaystyle f(9)=\dfrac{45}8(<f(15-5\sqrt3))$이므로$\displaystyle d_1=15-5\sqrt3$일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm G_1$의 넓이가 최대이다.