자연계열 I 3번

【3-1】함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 그리기 위해 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 구하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^2}{n(x+1)^2}$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=n$ 또는 $\displaystyle x=-n-2$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&(-1)&\cdots&n&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-\\\hline f(x)&&\nearrow&n+1&\searrow\\\hline\end{array}$함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\ge n$에서 감소하고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$이므로, $\displaystyle f(k)$가 자연수가 되도록 하는 가장 큰 자연수를 찾기 위해서 우선 $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)=1$의 해가 자연수인지부터 살펴본다. $\displaystyle f(x)=1$에서 $\displaystyle x=n^2+2n$이고 $\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle n^2+2n$은 자연수가 되어, $\displaystyle a_n=n^2+2n$이 된다. 따라서, 구하는 값은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}(n^2+2n)=495$이다.

【3-2】위 【3-1】의 표에 의해서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=n$에서 극댓값 $\displaystyle n+1$을 가지므로, $\displaystyle b_n=n$이고 $\displaystyle f(b_n)=n+1$이다. $\displaystyle a_n=n^2+2n$이고 $\displaystyle f(a_n)=1$이므로 두 점 $\displaystyle (a_n,f(a_n))$, $\displaystyle (b_n,f(b_n))$을 지나는 직선은$\displaystyle g(x)=-\dfrac1{n+1}(x-n)+n+1$이다.

함수 $\displaystyle l(x)=f(x)-g(x)$로 놓으면 함수 $\displaystyle l(x)$의 도함수는$\displaystyle l^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^2}{n(x+1)^2}+\dfrac1{n+1}=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^3}{n(n+1)(x+1)^2}$이므로, $\displaystyle n\le x\le n^2+2n$에서 함수 $\displaystyle l(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&n&\cdots&-1+(n+1)\sqrt{n+1}&\cdots&n^2+2n\\\hline l^{\prime}(x)&\dfrac1{n+1}&+&0&-&-\dfrac1{(n+1)^2}\\\hline l(x)&0&\nearrow&&\searrow&0\\\hline\end{array}$따라서, $\displaystyle n\le x\le n^2+2n$에서 $\displaystyle l(x)=f(x)-g(x)\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$이다.

【3-3】원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle y=g(x)$의 두 교점 중 $\displaystyle x$좌표가 큰 점을 $\displaystyle \mathrm F$, 원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle y=n+1$의 두 교점 중 $\displaystyle x$좌표가 큰 점을 $\displaystyle \mathrm G$라 하자. 중심각의 크기가 $\displaystyle \dfrac\pi2$보다 작은 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PFG}$의 중심각과 넓이를 각각 $\displaystyle \theta_n$과 $\displaystyle T_n$이라 하면 $\displaystyle T_n=\dfrac12n^2\theta_n$이고$\displaystyle \dfrac\pi{12}n^2-T_n\le S_n\le\dfrac\pi{12}n^2$이 성립한다. 또한,

$\displaystyle \sin\theta_n=\dfrac n{\sqrt{(n^2+n)^2+n^2}},\quad\tan\theta_n=\dfrac n{n^2+n}$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin\theta_n=\lim_{n\to\infty}\tan\theta_n=0$이고, 제시문 (마)와 (바)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0$이다. 따라서,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{T_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\theta_n=0$이므로, 부등식$\displaystyle \dfrac\pi{12}-\dfrac{T_n}{n^2}\le\dfrac{S_n}{n^2}\le\dfrac\pi{12}$와 제시문 (바)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac\pi{12}$이다.