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자연계열 I 3번

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경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 감소한다.

(나) 미분가능한 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x) (g(x)≠0\displaystyle g(x)\ne0)에 대하여{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}

(다)(1) ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}2(2) ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6(3) ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^nk^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2

(라) 반지름의 길이가 r\displaystyle r, 중심각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 부채꼴의 넓이는12r2θ\displaystyle \dfrac12r^2\theta(단, θ\displaystyle \theta의 단위는 라디안)

(마) 0≤θ<π2\displaystyle 0\le\theta<\dfrac\pi2일 때,sin⁡θ≤θ≤tan⁡θ\displaystyle \sin\theta\le\theta\le\tan\theta(단, θ\displaystyle \theta의 단위는 라디안)

(바) 두 수열 an\displaystyle {a_n}, bn\displaystyle {b_n}이 각각 수렴하고lim⁡n→∞an=α,lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\quad\lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때, 수열 cn\displaystyle {c_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 수열 cn\displaystyle {c_n}은 수렴하고lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

구간 (−1,∞)\displaystyle (-1,\infty)에서 정의된 함수f(x)=−x2+n(n+3)x+nn(x+1)\displaystyle f(x)=\dfrac{-x^2+n(n+3)x+n}{n(x+1)}에 대하여, 함숫값 f(k)\displaystyle f(k)가 자연수가 되도록 하는 가장 큰 자연수 k\displaystyle k를 an\displaystyle a_n이라 하자. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=bn\displaystyle x=b_n에서 극댓값을 가질 때, 다음 물음에 답하시오. (단, n\displaystyle n은 자연수)

【3-1】 ∑n=110an\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n의 값을 구하시오. (35점)

【3-2】 두 점 (an,f(an))\displaystyle (a_n,f(a_n)), (bn,f(bn))\displaystyle (b_n,f(b_n))을 지나는 직선을 y=g(x)\displaystyle y=g(x)라 할 때, 닫힌구간 [bn,an]\displaystyle [b_n,a_n]에서 부등식 f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x)가 성립함을 보이시오. (35점)

【3-3】 중심이 P(bn,f(bn))\displaystyle \mathrm P(b_n,f(b_n))인 원 C\displaystyle C가 y\displaystyle y축에 접할 때, 점 P\displaystyle \mathrm P와 점 ((3+1)n+3,0)\displaystyle ((\sqrt3+1)n+\sqrt3,0)을 지나는 직선과 원 C\displaystyle C의 두 교점 중 x\displaystyle x좌표가 큰 점을 D\displaystyle \mathrm D, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 원 C\displaystyle C의 두 교점 중 x\displaystyle x좌표가 큰 점을 E\displaystyle \mathrm E라 하자. 두 점 P\displaystyle \mathrm P, E\displaystyle \mathrm E 사이의 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 부분과 부채꼴 PDE\displaystyle \mathrm{PDE}의 호 DE\displaystyle \mathrm{DE} 및 선분 PD\displaystyle \mathrm{PD}로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sn\displaystyle S_n이라 할 때,lim⁡n→∞Snn2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}의 값을 구하시오.(단, 부채꼴 PDE\displaystyle \mathrm{PDE}의 중심각의 크기는 π2\displaystyle \dfrac\pi2보다 작다.) (50점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023su/jayeon1_3

+10점 · f′(x)=−(x+1)2+(n+1)2n(x+1)2\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^2}{n(x+1)^2}을 구한다.

【3-1】함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프의 개형을 그리기 위해 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)를 구하면f′(x)=−(x+1)2+(n+1)2n(x+1)2\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^2}{n(x+1)^2}이다.

+10점 · 함수의 증감표 x(−1)⋯n⋯f′(x)+0−f(x)↗n+1↘\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&(-1)&\cdots&n&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-\\\hline f(x)&&\nearrow&n+1&\searrow\\\hline\end{array}와 lim⁡x→∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty을 구한다.

f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0에서 x=n\displaystyle x=n 또는 x=−n−2\displaystyle x=-n-2이므로 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.x(−1)⋯n⋯f′(x)+0−f(x)↗n+1↘\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&(-1)&\cdots&n&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-\\\hline f(x)&&\nearrow&n+1&\searrow\\\hline\end{array}함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x≥n\displaystyle x\ge n에서 감소하고 lim⁡x→∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty이므로,

+10점 · f(x)=1\displaystyle f(x)=1에서 an=n2+2n\displaystyle a_n=n^2+2n을 구한다.

f(k)\displaystyle f(k)가 자연수가 되도록 하는 가장 큰 자연수를 찾기 위해서 우선 x\displaystyle x에 대한 방정식 f(x)=1\displaystyle f(x)=1의 해가 자연수인지부터 살펴본다. f(x)=1\displaystyle f(x)=1에서 x=n2+2n\displaystyle x=n^2+2n이고 n\displaystyle n은 자연수이므로 n2+2n\displaystyle n^2+2n은 자연수가 되어, an=n2+2n\displaystyle a_n=n^2+2n이 된다.

+5점 · ∑n=110an=495\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n=495를 구한다.

따라서, 구하는 값은 ∑n=110(n2+2n)=495\displaystyle \sum_{n=1}^{10}(n^2+2n)=495이다.

+5점 · bn=n\displaystyle b_n=n을 구한다.

【3-2】위 【3-1】의 표에 의해서 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=n\displaystyle x=n에서 극댓값 n+1\displaystyle n+1을 가지므로, bn=n\displaystyle b_n=n이고 f(bn)=n+1\displaystyle f(b_n)=n+1이다.

+5점 · g(x)=−1n+1(x−n)+n+1\displaystyle g(x)=-\dfrac1{n+1}(x-n)+n+1을 구한다.

an=n2+2n\displaystyle a_n=n^2+2n이고 f(an)=1\displaystyle f(a_n)=1이므로 두 점 (an,f(an))\displaystyle (a_n,f(a_n)), (bn,f(bn))\displaystyle (b_n,f(b_n))을 지나는 직선은g(x)=−1n+1(x−n)+n+1\displaystyle g(x)=-\dfrac1{n+1}(x-n)+n+1이다.

+10점 · l′(x)=f′(x)−g′(x)=−(x+1)2+(n+1)3n(n+1)(x+1)2\displaystyle l^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^3}{n(n+1)(x+1)^2}을 구한다.

함수 l(x)=f(x)−g(x)\displaystyle l(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 함수 l(x)\displaystyle l(x)의 도함수는l′(x)=f′(x)−g′(x)=−(x+1)2+(n+1)2n(x+1)2+1n+1=−(x+1)2+(n+1)3n(n+1)(x+1)2\displaystyle l^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^2}{n(x+1)^2}+\dfrac1{n+1}=\dfrac{-(x+1)^2+(n+1)^3}{n(n+1)(x+1)^2}

+10점 · 증감표 xn⋯−1+(n+1)n+1⋯n2+2nl′(x)1n+1+0−−1(n+1)2l(x)0↗↘0\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&n&\cdots&-1+(n+1)\sqrt{n+1}&\cdots&n^2+2n\\\hline l^{\prime}(x)&\dfrac1{n+1}&+&0&-&-\dfrac1{(n+1)^2}\\\hline l(x)&0&\nearrow&&\searrow&0\\\hline\end{array}을 구한다.

이므로, n≤x≤n2+2n\displaystyle n\le x\le n^2+2n에서 함수 l(x)\displaystyle l(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.xn⋯−1+(n+1)n+1⋯n2+2nl′(x)1n+1+0−−1(n+1)2l(x)0↗↘0\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&n&\cdots&-1+(n+1)\sqrt{n+1}&\cdots&n^2+2n\\\hline l^{\prime}(x)&\dfrac1{n+1}&+&0&-&-\dfrac1{(n+1)^2}\\\hline l(x)&0&\nearrow&&\searrow&0\\\hline\end{array}

+5점 · l(x)=f(x)−g(x)≥0\displaystyle l(x)=f(x)-g(x)\ge0에서 f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x)임을 유도한다.

따라서, n≤x≤n2+2n\displaystyle n\le x\le n^2+2n에서 l(x)=f(x)−g(x)≥0\displaystyle l(x)=f(x)-g(x)\ge0이므로 f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x)이다.

+5점 · 원 C\displaystyle C의 방정식 (x−n)2+(y−n−1)2=n2\displaystyle (x-n)^2+(y-n-1)^2=n^2을 구한다.
+15점 · π12n2−Tn≤Sn≤π12n2\displaystyle \dfrac\pi{12}n^2-T_n\le S_n\le\dfrac\pi{12}n^2을 유도한다.

【3-3】원 C\displaystyle C와 직선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 두 교점 중 x\displaystyle x좌표가 큰 점을 F\displaystyle \mathrm F, 원 C\displaystyle C와 직선 y=n+1\displaystyle y=n+1의 두 교점 중 x\displaystyle x좌표가 큰 점을 G\displaystyle \mathrm G라 하자. 중심각의 크기가 π2\displaystyle \dfrac\pi2보다 작은 부채꼴 PFG\displaystyle \mathrm{PFG}의 중심각과 넓이를 각각 θn\displaystyle \theta_n과 Tn\displaystyle T_n이라 하면 Tn=12n2θn\displaystyle T_n=\dfrac12n^2\theta_n이고π12n2−Tn≤Sn≤π12n2\displaystyle \dfrac\pi{12}n^2-T_n\le S_n\le\dfrac\pi{12}n^2이 성립한다. 또한,

+15점 · sin⁡θn=n(n2+n)2+n2\displaystyle \sin\theta_n=\dfrac n{\sqrt{(n^2+n)^2+n^2}}, tan⁡θn=nn2+n\displaystyle \tan\theta_n=\dfrac n{n^2+n}을 구한다.

sin⁡θn=n(n2+n)2+n2,tan⁡θn=nn2+n\displaystyle \sin\theta_n=\dfrac n{\sqrt{(n^2+n)^2+n^2}},\quad\tan\theta_n=\dfrac n{n^2+n}

+10점 · lim⁡n→∞sin⁡θn=lim⁡n→∞tan⁡θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin\theta_n=\lim_{n\to\infty}\tan\theta_n=0으로부터 lim⁡n→∞θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0을 구한다.

이므로, lim⁡n→∞sin⁡θn=lim⁡n→∞tan⁡θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin\theta_n=\lim_{n\to\infty}\tan\theta_n=0이고, 제시문 (마)와 (바)에 의해 lim⁡n→∞θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0이다.

+5점 · lim⁡n→∞Snn2=π12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac\pi{12}를 구한다.

따라서,lim⁡n→∞Tnn2=lim⁡n→∞12θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{T_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\theta_n=0이므로, 부등식π12−Tnn2≤Snn2≤π12\displaystyle \dfrac\pi{12}-\dfrac{T_n}{n^2}\le\dfrac{S_n}{n^2}\le\dfrac\pi{12}와 제시문 (바)에 의해 lim⁡n→∞Snn2=π12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac\pi{12}이다.

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