인문사회계 Ⅱ 2번

▶ 2-1번 문항

(1)

(1a) 제시된 도함수는 평균과 분산이 각각 $\displaystyle t_m$과 $\displaystyle \sigma^2$인 정규분포의 형태를 갖는다. 정규분포의 정의를 활용해 기술 확산 이후 모집단의 50%까지 전파되는 시점은 $\displaystyle t_m$이며, 문제의 정의에 따라 2의 값을 갖는다.

(1b) 기술이 개발된 후 $\displaystyle t_m+\sigma$까지 경과한 후 기술이 전파된 기업은 $\displaystyle F(1)$인 0.8413에 해당한다. 하지만 이중 기술을 습득한 지 $\displaystyle t_m$만큼 시간이 경과한 기업은 즉시 기술을 잊어버리게 되는데, 이런 기업은 $\displaystyle t_m+\sigma$ 시점에서 초기 $\displaystyle t_m$ 동안 기술이 확산된 기업이다. 정규분포의 정의를 활용해 처음 $\displaystyle t_m$ 기간 동안에 기술이 전파된 기업의 비율은 0.5이므로 $\displaystyle t_m+\sigma$ 시점에서 이 기술을 기억하는 있는 기업의 비율은 전체의 34.13%에 해당한다. 이것은 제시된 표의 $\displaystyle F(1)$에 해당하는 값인 0.8413에서 한때 이 기술을 습득했지만 이후 잊어버리게 된 기업, 즉 $\displaystyle F(0)$에 해당하는 값인 0.5를 뺀 0.3413에 해당한다.Comment. 기술을 습득한 시각을 $\displaystyle t$라 하면 $\displaystyle t+t_m\le t_m+\sigma$, 즉 $\displaystyle t\le\sigma$인 기업은 이미 기술을 잊었다. 따라서 누적분포함수를 $\displaystyle F$라 할 때 기억하는 기업의 비율은 $\displaystyle F(t_m+\sigma)-F(\sigma)$이며, $\displaystyle F(t_m+\sigma)-F(t_m)$이 아니다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2)

$\displaystyle n$개 기업 중 잡지를 통해 해당 기술정보를 습득한 기업의 수를 확률변수 $\displaystyle X$라 할 때 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(n,\alpha)$를 따르므로 $\displaystyle E(X)=n\alpha$, $\displaystyle \sigma(x)=\sqrt{n\alpha(1-\alpha)}$이 된다. 이 때 $\displaystyle n$은 충분히 큰 수이므로 확률변수 $\displaystyle X$는 근사적으로 평균이 $\displaystyle n\alpha$이고 분산이 $\displaystyle n\alpha(1-\alpha)$인 정규분포 $\displaystyle N(n\alpha,n\alpha(1-\alpha))$을 따른다. 즉, 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-n\alpha}{\sqrt{n\alpha(1-\alpha)}}$은 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따르며, 따라서 구하고자 하는 확률 $\displaystyle P(X\ge n\alpha+\sqrt{n\alpha(1-\alpha)})$, 즉 $\displaystyle P(Z\ge1)$는 제시된 표준정규분포표를 활용해 0.1587로 구할 수 있다.

▶ 2-2번 문항

(1)

대학에 진학할 경우 기대되는 경제적 이득과 고등학교 졸업 직후 취업할 경우에 기대할 수 있는 소득을 비교하여 대학 진학을 결정하므로, 아래 조건이 만족되는 학생들만 대학에 진학하게 된다.

대학에 진학할 경우 기대되는 경제적 이득 > 고등학교 졸업 직후 취업할 경우에 기대할 수 있는 소득$\displaystyle \leftrightarrow$ 3억 2천만 원 $\displaystyle \times\frac{x}{100}$ + 2억원 4천만 원 $\displaystyle \times\left(1-\frac{x}{100}\right)$ - 4천만 원 > 2억원 4천만 원$\displaystyle \leftrightarrow$ 8천만 원 $\displaystyle \times\frac{x}{100}$ > 4천만원$\displaystyle \leftrightarrow\ x>50$

그러므로 고등학교 성적이 50을 초과하는 학생 50명이 대학에 진학하게 된다. 따라서 시험에 응시한 학생들의 합격할 확률의 합을 구하면 .51 + .52 + … + 1.00 = 37.75 가 된다. 이 값을 응시한 학생들의 수로 나눠주면 75.5(=37.75/50)퍼센트가 되어 합격할 확률의 평균값이 구해진다.

(2)

(1)번과 동일하게 학생들은 대학 진학과 고등학교 졸업 직후 취업을 할 경우의 기대소득을 비교해서 의사결정을 하나, 이전과는 달리 대학 진학 시에 장학금이 주어지므로, 대학교육의 실질 비용이 하락하게 되고, 아래와 같은 조건을 만족할 경우 대학에 진학하게 된다.

대학에 진학할 경우 기대되는 경제적 편익 > 고등학교 졸업 직후 취업할 경우에 기대할 수 있는 소득$\displaystyle \leftrightarrow$ 3억 2천만 원 $\displaystyle \times\frac{x}{100}$ + 2억 원 4천만 원 $\displaystyle \times\left(1-\frac{x}{100}\right)$ - 1천만 2백만 원 > 2억 4천만 원$\displaystyle \leftrightarrow$ 8천만 원 $\displaystyle \times\frac{x}{100}$ > 1천 2백만 원$\displaystyle \leftrightarrow\ x>15$

따라서 장학금이 지급될 경우 모두 85명의 학생들이 대학에 진학하게 되고, 이 학생들이 시험에 응시할 경우, 합격 확률의 총합은 .16 + .17 + … + 1.00 = 49.3 가 된다. 그러므로 응시자들의 합격률의 평균값은 58(=49.3/85)퍼센트로 계산된다.

▶ 2-3번 문항

(1)

한 변의 길이가 $\displaystyle X$인 정사각형에 내접하는 원의 지름은 $\displaystyle X$이다. 즉 원의 지름이 $\displaystyle X$보다 작거나 같으면 원은 정사각형 안에 들어간다.

한 변의 길이가 $\displaystyle X$인 정삼각형에 내접하는 원의 지름은 $\displaystyle X/\sqrt3$이다. 즉 원의 지름이 $\displaystyle X/\sqrt3$보다 작거나 같으면 원은 정삼각형 안에 들어간다.

지름의 길이가 $\displaystyle X$인 원에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle X/\sqrt2$이다. 즉 정사각형의 한 변의 길이가 $\displaystyle X/\sqrt2$보다 작거나 같으면 정사각형은 원에 들어간다.

지름의 길이가 $\displaystyle X$인 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle X\sqrt3/2$이다. 즉 정삼각형의 한 변의 길이가 $\displaystyle X\sqrt3/2$보다 작거나 같으면 정삼각형은 원에 들어간다.

규칙 2, 3을 고려하면 색종이 간의 관계는 다음과 같이 정리할 수 있다. 아래에서 >>는 “~ 뒤에 올 수 있는 색종이는 ~다”로 읽자.

S10 >> C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10S9 >> C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9S8 >> C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8S7 >> C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7S6 >> C1, C2, C3, C4, C5, C6S5 >> C1, C2, C3, C4, C5S4 >> C1, C2, C3, C4S3 >> C1, C2, C3S2 >> C1, C2S1 >> C1

T10 >> C1, C2, C3, C4, C5T9 >> C1, C2, C3, C4, C5T8 >> C1, C2, C3, C4T7 >> C1, C2, C3, C4T6 >> C1, C2, C3T5 >> C1, C2T4 >> C1, C2T3 >> C1T2 >> C1T1 >> -

C10 >> S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8C9 >> S1, S2, S3, S4, S5, S6, T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7C8 >> S1, S2, S3, S4, S5, T1, T2, T3, T4, T5, T6C7 >> S1, S2, S3, S4, T1, T2, T3, T4, T5, T6C6 >> S1, S2, S3, S4, T1, T2, T3, T4, T5C5 >> S1, S2, S3, T1, T2, T3, T4C4 >> S1, S2, T1, T2, T3C3 >> S1, S2, T1, T2C2 >> S1, T1C1 >> -

$\displaystyle r$의 최대값을 구하기 위해 다음 3개의 순열을 고려해 보자.

순열1: S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 >> S2 >> C2 >> S1 >> C1순열2: S9 >> C9 >> S6 >> C6 >> S4 >> C4 >> S2 >> C2 >> S1 >> C1순열3: S8 >> C8 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3 >> S2 >> C2 >> S1 >> C1

세 개의 순열 모두 규칙 1~3을 만족시키고 $\displaystyle r=10$이다. 따라서 $\displaystyle r$의 최대값은 10보다 크거나 같다. 아래에서 규칙 1~3을 만족시키며 순열 1보다 더 긴 순열은 없다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle r$의 최대값은 10이다.

“규칙 1~3을 만족시키며 순열 1보다 더 긴 순열은 없다”는 다음 순서에 따라 확인할 수 있다.

(i) S10으로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.(ii) S1~S9 중 하나로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.(iii) T10으로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.(iv) T1~T9으로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.(v) C10으로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.(vi) C1~C9으로 시작하는 순열은 순열 1보다 길 수 없다.

(i) S10 >> C9 으로 시작하는 순열 중 가장 긴 순열은 S10 >> C10으로 시작하는 순열 중 가장 긴 순열보다 더 길 수는 없다. (그런 순열이 있다면 C9을 C10으로 바꿀 수 있는 데 그럼 모순이 발생한다.) 따라서 S10 >> C9 으로 시작하는 순열은 무시할 수 있다. 마찬가지 이유로 C1~C8 중 하나가 두 번째 자리에 오는 순열은 모두 무시할 수 있다. 따라서 두 번째 색종이는 C10만을 고려하면 된다.

세 번째 자리에는 S7과 T8을 고려해야 한다. (이 보다 작은 사각형, 삼각형은 위에서 설명한 이유로 무시할 수 있다.) S10 >> C10 >> T8으로 시작하는 순열을 생각해 보자. 이러한 순열 중 가장 긴 것은 S10 >> C10 >> T8 >> C4 >> ...의 형태를 가지는 데 이는 S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 >> ...의 형태를 가지는 순열 중 가장 긴 순열보다 길 수는 없다. 따라서 S10 >> C10 >> T8으로 시작하는 순열은 무시할 수 있다. 따라서 가장 긴 순열의 길이를 찾기 위해서는 S10 >> C10 >> S7으로 시작하는 순열만을 고려해도 충분하다.

S10 >> C10 >> S7으로 시작하는 순열 중 가장 긴 순열은 S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> ...의 형태만을 고려해도 된다. (네 번째 자리에 올 수 있는 색종이는 모두 C7에 들어가기 때문이다.)

S10 >> C10 >> S7 >> C7 뒤에 올 수 있는 가장 큰 색종이는 S4와 T6이다. 다섯 번째 자리에 T6가 온다면 이 중 가장 긴 순열은 S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> T6 >> C3 >> ...의 형태를 가진다. C3 뒤에 올 수 있는 모든 조합을 쓰면 다음과 같다

C3 >> S2 >> C2 >> S1 >> C1C3 >> S2 >> C2 >> T1C3 >> S2 >> C1C3 >> S1 >> C1C3 >> T2 >> C1C3 >> T1

즉 $\displaystyle r$의 최대값은 순열 1과 동일하다. 따라서 다섯 번째 자리에 T6가 오는 가능성은 무시하고 S4만을 고려해도 충분하다.

S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4로 시작하는 순열 중 가장 긴 순열은 S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 >> ... 의 형태만을 고려해도 된다. (여섯 번째 자리에 올 수 있는 색종이는 모두 C7에 들어가기 때문이다.)

S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 뒤에 올 수 있는 가장 큰 색종이는 S2와 T3이다. T3 뒤에는C1만이 올 수 있기 때문에 T3가 포함된 순열은 순열 1보다 짧다. 따라서 S2만을 고려해도 충분하다.

S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 >> S2로 시작하는 순열 중 가장 긴 순열은 S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4 >> S2 >> C2 >> ...의 형태만을 고려해도 된다. (여덟 번째 자리에 올 수 있는 색종이는 모두 C2에 들어가기 때문이다.)

C2 뒤에 올 수 있는 모든 조합을 쓰면 다음과 같다

C2 >> S1 >> C1C2 >> T1

따라서 순열1보다 더 긴 순열은 존재하지 않는다.

(ii) S1~S9 중 하나는 항상 S10으로 바꿀 수 있으므로 S1~S9 중 하나로 시작하는 순열이 S10으로 시작하는 순열보다 클 수 없다.

(iii) T10 다음에 올 수 있는 가장 큰 색종이는 C5이다. 순열 3을 보면 C5 다음에 6장의 색종이가 나오는 경우가 가장 긴 순열이므로 ((ii)에 따르면 S8으로 시작하는 순열 중 이 보다 긴 순열은 존재하지 않는다), 총 8장의 색종이만 나올 수 있다. 따라서 가장 긴 순열을 만들 수 없다.

(iv) T1~T9 중 하나는 항상 T10으로 바꿀 수 있으므로 T1~T9 중 하나로 시작하는 순열이 T10으로 시작하는 순열보다 클 수 없다.

(v) C10 앞에 S10을 놓는 것이 항상 가능하다. 따라서 C10으로 시작하는 순열은 가장 긴 순열일 수 없다.

(vi) C1~C9 중 하나는 항상 C10으로 바꿀 수 있으므로 C1~C9 중 하나로 시작하는 순열이 C10으로 시작하는 순열보다 클 수 없다.

(2)

앞서 제시한 순열 1~3에서 마지막 네 개의 색종이(의 한 가지 가능한 조합)은 S2, C2, S1, C1임을 확인할 수 있다.

(3)

$\displaystyle r=10$인 순열의 첫 번째 자리에 오는 색종이는 S10, S9, S8 중 하나이다. 첫 번째 자리에 S7이 오는 경우, 두 번째 올 수 있는 가장 큰 색종이는 C7인데, 이는 순열 1보다 짧아진다. 첫 번째 자리에 S7보다 작은 사각형이 오면 길이가 더 길어질 수는 없다. T10이 첫 번째 자리에 오는 경우, 두 번째 올 수 있는 가장 큰 색종이는 C5인데, 이는 순열 3보다 짧아진다. 첫 번째 자리에 T10보다 작은 삼각형이 오면 길이가 더 길어질 수는 없다. 첫 번째 자리에서 C10이 오는 경우, 순열 1보다 길이가 짧아진다. C10보다 작은 원이 첫 번째 자리에 오는 경우도 마찬가지다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 두 번째 자리에 오는 색종이는 C10, C9, C8 중 하나이다. C7 혹은 이보다 작은 원이 오면 순열 1보다 짧아진다.$\displaystyle r=10$인 순열의 세 번째 자리에 오는 색종이는 S7, S6, S5 중 하나이다. S4 혹은 이 보다 작은 사각형이 오면 순열 1보다 짧아진다. T8이 세 번째 자리에 오면 네 번째 자리에 올 수 있는 가장 큰 원은 C4이고, 이 경우 순열 1보다 짧아진다. T8보다 작은 삼각형이 세 번째 자리에 오더라도 마찬가지이다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 네 번째 자리에 오는 색종이는 C7, C6, C5 중 하나이다. C4 혹은 이 보다 작은 원이 오면 순열 1보다 짧아진다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 다섯 번째 자리에 오는 색종이는 S4, S3, T6 중 하나이다. S2 혹은 더 작은 사각형이 오면 순열 1보다 짧아진다. T5가 오면 그 다음 올 수 있는 가장 큰 원은 C2인데 이 경우 순열 1보다 짧아진다. T5보다 작은 삼각형이 다섯 번째 자리에 오더라도 같은 결과이다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 여섯 번째 자리에 오는 색종이는 C4, C3 중 하나이다. C2나 C1이 이 자리에 오면 순열 1보다 짧아진다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 일곱 번째 자리에 오는 색종이는 S2이다. S1이 오면 순열1보다 짧아진다. 일곱 번째 자리에 T2가 오면 그 다음에는 C1만이 올 수 있고, 이 경우 역시 순열1보다 짧아진다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 여덟 번째 자리에 오는 색종이는 C2이다. 이 자리에 C1이 오면 순열1보다 짧아진다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 아홉 번째 자리에 오는 색종이는 S1이다. 이 자리에 T1이 오면 순열1보다 짧아진다.

$\displaystyle r=10$인 순열의 열 번째 자리에 오는 색종이는 C1이다.

이상을 고려하여 모든 순열을 여섯 번째 자리까지만 나열하면 아래와 같다 (일곱 번째 이후는 동일하다.)

S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C4S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S4 >> C3S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> S3 >> C3S10 >> C10 >> S7 >> C7 >> T6 >> C3S10 >> C10 >> S7 >> C6 >> S4 >> C4

S10 >> C10 >> S7 >> C6 >> S4 >> C3S10 >> C10 >> S7 >> C6 >> S3 >> C3S10 >> C10 >> S7 >> C5 >> S3 >> C3S10 >> C10 >> S6 >> C6 >> S4 >> C4S10 >> C10 >> S6 >> C6 >> S4 >> C3

S10 >> C10 >> S6 >> C6 >> S3 >> C3S10 >> C10 >> S6 >> C5 >> S3 >> C3S10 >> C10 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3S10 >> C9 >> S6 >> C6 >> S4 >> C4S10 >> C9 >> S6 >> C6 >> S4 >> C3

S10 >> C9 >> S6 >> C6 >> S3 >> C3S10 >> C9 >> S6 >> C5 >> S3 >> C3S10 >> C9 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3S10 >> C8 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3S9 >> C9 >> S6 >> C6 >> S4 >> C4

S9 >> C9 >> S6 >> C6 >> S4 >> C3S9 >> C9 >> S6 >> C6 >> S3 >> C3S9 >> C9 >> S6 >> C5 >> S3 >> C3S9 >> C9 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3S9 >> C8 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3

S8 >> C8 >> S5 >> C5 >> S3 >> C3

즉 26개의 순열이 존재한다.

아래 그림을 활용하여 경우의 수를 확인할 수도 있다. 직선은 가장 긴 순열을 만들 수 있는 경로를 나타내고 점선은 가장 긴 순열을 만들 수 없는 경로를 나타낸다.