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자연계열 B 2번

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건국대 2021학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021su/jayeonb_2

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문제

제시문 2

(가) 좌표평면 위에서 x\displaystyle x축의 양의 방향을 시초선으로 잡았을 때, 일반각 θ\displaystyle \theta를 나타내는 동경과 원점 O\displaystyle O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원의 교점을 P(x,y)\displaystyle P(x,y)라 하면 yr,xr,yx (x≠0)\displaystyle \frac yr,\frac xr,\frac yx\ (x\ne0)의 값은 r\displaystyle r의 값과 관계없이 θ\displaystyle \theta의 값에 따라 각각 하나로 정해진다. 이 함수들을 차례로 θ\displaystyle \theta에 대한 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라 하고, 기호로 각각 sin⁡θ=yr,cos⁡θ=xr,tan⁡θ=yx (x≠0)\displaystyle \sin\theta=\frac yr,\cos\theta=\frac xr,\tan\theta=\frac yx\ (x\ne0)로 정의하고, 이 함수들을 통틀어 θ\displaystyle \theta에 대한 삼각함수라 한다.

(나) [그림 3]은 중심이 원점 O\displaystyle O인 원과 점 A(−2,0)\displaystyle A(-2,0)을 나타낸 것이다. 점 A\displaystyle A에서 원에 그은 두 접선과 원이 만나는 점이 각각 B,C\displaystyle B,C이다. 직선 BO\displaystyle BO와 직선 AC\displaystyle AC의 교점이 D\displaystyle D이다. 원의 반지름이 r\displaystyle r일 때, ∠CDO\displaystyle \angle CDO의 크기가 θ\displaystyle \theta이다.

(다) [그림 4]는 중심이 원점 O\displaystyle O이고 반지름의 길이가 1인 반원과 점 S(2,0)\displaystyle S(2,0)을 나타낸 것이다. 점 P\displaystyle P는 반원 위에 있다. 선분 PQ\displaystyle PQ는 y\displaystyle y축과 평행하고 점 Q\displaystyle Q의 y\displaystyle y좌표는 점 P\displaystyle P의 y\displaystyle y좌표보다 1만큼 크다.

원 밖의 점에서 그은 두 접선과 중심을 지나는 직선
[그림 3]
반원 위의 점 P와 그 위의 점 Q 및 점 S
[그림 4]

문제 2-1제시문 2의 (나)에서 r=1\displaystyle r=1일 때 dθdr\displaystyle \frac{d\theta}{dr}의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

문제 2-2제시문 2의 (다)에서 ∠PSQ\displaystyle \angle PSQ의 크기가 최소일 때 점 P\displaystyle P의 좌표를 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

해설강의 준비중

건국대 2021학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021su/jayeonb_2

[2-1]

∠BAO\displaystyle \angle BAO의 크기를 α\displaystyle \alpha라고 하자. 2α+θ=π2\displaystyle 2\alpha+\theta=\frac\pi2이다.

직각삼각형 ABO\displaystyle ABO에서sin⁡α=r2\displaystyle \sin\alpha=\frac r2이고 cos⁡α=4−r22\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{4-r^2}}2이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의하여sin⁡2α=sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α=r4−r22\displaystyle \sin2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2이다.

따라서 cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)=sin⁡2α=r4−r22\displaystyle \cos\theta=\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=\sin2\alpha=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2이고,d(cos⁡θ)dr=12(1⋅4−r2+r(−2r)24−r2)=2−r24−r2\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac12\left(1\cdot\sqrt{4-r^2}+\frac{r(-2r)}{2\sqrt{4-r^2}}\right)=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}}이다.또한, 합성함수의 미분법에 의하여 d(cos⁡θ)dr=−sin⁡θdθdr\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr}이다.

따라서 −sin⁡θdθdr=2−r24−r2\displaystyle -\sin\theta\frac{d\theta}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}}이고, dθdr=r2−24−r2⋅1sin⁡θ\displaystyle \frac{d\theta}{dr}=\frac{r^2-2}{\sqrt{4-r^2}}\cdot\frac1{\sin\theta}이다.

r=1\displaystyle r=1일 때 sin⁡α=12\displaystyle \sin\alpha=\frac12이므로 α=π6\displaystyle \alpha=\frac\pi6이고, 이 때 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6이고, sin⁡θ=sin⁡π6=12\displaystyle \sin\theta=\sin\frac\pi6=\frac12이다.

따라서 r=1\displaystyle r=1일 때 dθdr=1−24−1⋅2=−23=−233\displaystyle \frac{d\theta}{dr}=\frac{1-2}{\sqrt{4-1}}\cdot2=-\frac2{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}3이다.

[2-2]

P(cos⁡θ,sin⁡θ), 0≤θ≤π\displaystyle P(\cos\theta,\sin\theta),\ 0\le\theta\le\pi라고 두면 Q(cos⁡θ,sin⁡θ+1)\displaystyle Q(\cos\theta,\sin\theta+1)점 P\displaystyle P에서 x\displaystyle x축 위로 내린 수선의 발을 H\displaystyle H라고 하고, ∠SQH=α1\displaystyle \angle SQH=\alpha_1, ∠PQH=α2\displaystyle \angle PQH=\alpha_2, ∠SQP=α\displaystyle \angle SQP=\alpha라 하자.Correction. 각의 표기 ∠SQH\displaystyle \angle SQH, ∠PQH\displaystyle \angle PQH, ∠SQP\displaystyle \angle SQP는 각각 ∠QSH\displaystyle \angle QSH, ∠PSH\displaystyle \angle PSH, ∠QSP\displaystyle \angle QSP의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.tan⁡α1=sin⁡θ+12−cos⁡θ\displaystyle \tan\alpha_1=\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta}tan⁡α2=sin⁡θ2−cos⁡θ\displaystyle \tan\alpha_2=\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}이므로

tan⁡α=tan⁡(α1−α2)=tan⁡α1−tan⁡α21+tan⁡α1tan⁡α2=sin⁡θ+12−cos⁡θ−sin⁡θ2−cos⁡θ1+sin⁡θ+12−cos⁡θsin⁡θ2−cos⁡θ=2−cos⁡θ5−4cos⁡θ+sin⁡θ\displaystyle \begin{aligned}\tan\alpha&=\tan(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{\tan\alpha_1-\tan\alpha_2}{1+\tan\alpha_1\tan\alpha_2}\\&=\frac{\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta}-\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}}{1+\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta}\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}}\\&=\frac{2-\cos\theta}{5-4\cos\theta+\sin\theta}\end{aligned}이다.양변을 미분하면sec⁡2α α′(θ)=sin⁡θ(5−4cos⁡θ+sin⁡θ)−(2−cos⁡θ)(4sin⁡θ+cos⁡θ)(5−4cos⁡θ+sin⁡θ)2=−3sin⁡θ−2cos⁡θ+1(5−4cos⁡θ+sin⁡θ)2=0\displaystyle \begin{aligned}\sec^2\alpha\,\alpha^{\prime}(\theta)&=\frac{\sin\theta(5-4\cos\theta+\sin\theta)-(2-\cos\theta)(4\sin\theta+\cos\theta)}{(5-4\cos\theta+\sin\theta)^2}\\&=\frac{-3\sin\theta-2\cos\theta+1}{(5-4\cos\theta+\sin\theta)^2}=0\end{aligned}을 얻는다.따라서 3sin⁡θ+2cos⁡θ−1=0 (∗)\displaystyle 3\sin\theta+2\cos\theta-1=0\ (*)cos⁡θ=±1−sin⁡2θ\displaystyle \cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}로 (*)를 치환하면 21−sin⁡2θ=1−3sin⁡θ\displaystyle 2\sqrt{1-\sin^2\theta}=1-3\sin\theta이다.Caution. 제곱 관계를 제곱근으로 바꿀 때는 원래 식의 부호를 확인해야 한다: 1−sin⁡2θ=∣cos⁡θ∣\displaystyle \sqrt{1-\sin^2\theta}=|\cos\theta|이므로 2cos⁡θ=1−3sin⁡θ\displaystyle 2\cos\theta=1-3\sin\theta에서 대입할 때는 ±21−sin⁡2θ=1−3sin⁡θ\displaystyle \pm2\sqrt{1-\sin^2\theta}=1-3\sin\theta로 써야 한다. 정답에 해당하는 cos⁡θ<0\displaystyle \cos\theta<0인 경우에는 음의 부호를 선택해야 한다. 대학 답안은 앞 줄에는 ±\displaystyle \pm를 적었지만 대입식에서 빠뜨렸다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.양변을 제곱하면 4(1−sin⁡2θ)=1−6sin⁡θ+9sin⁡2θ\displaystyle 4(1-\sin^2\theta)=1-6\sin\theta+9\sin^2\theta정리하면 13sin⁡2θ−6sin⁡θ−3=0\displaystyle 13\sin^2\theta-6\sin\theta-3=0이다.

2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 sin⁡θ=3±4813\displaystyle \sin\theta=\frac{3\pm\sqrt{48}}{13}를 얻는다.

그러나 0≤θ≤π\displaystyle 0\le\theta\le\pi에서 sin⁡θ≥0\displaystyle \sin\theta\ge0이므로 sin⁡θ=3+4313\displaystyle \sin\theta=\frac{3+4\sqrt3}{13}가 y\displaystyle y좌표이다.

이때, x\displaystyle x좌표를 구하기 위해서 (*)를 이용하면 cos⁡θ=12(1−3sin⁡θ)=2−6313\displaystyle \cos\theta=\frac12(1-3\sin\theta)=\frac{2-6\sqrt3}{13}이다.

그러므로 ∠PSQ\displaystyle \angle PSQ가 최소일 때 P\displaystyle P의 좌표는 (2−6313,3+4313)\displaystyle \left(\frac{2-6\sqrt3}{13},\frac{3+4\sqrt3}{13}\right)이다.

하위 문항채점 기준배점
2-1F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음20
2-1E: sin⁡α\displaystyle \sin\alpha나 cos⁡α\displaystyle \cos\alpha를 r\displaystyle r로 표현하거나 α=π6=θ\displaystyle \alpha=\frac\pi6=\theta등의 간단한 식을 구함20
2-1D: 사인함수의 덧셈정리를 사용하여 sin⁡2α\displaystyle \sin2\alpha를 계산함20
2-1C: D와 더불어 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta를 구함20
2-1B: C와 더불어 합성함수의 미분법을 사용하여 d(cos⁡θ)dr=2−r24−r2\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}}이나 d(cos⁡θ)dr=−sin⁡θdθdr\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr}을 구함20
2-1B+: B와 더불어 합성함수의 미분법을 사용하여 d(cos⁡θ)dr=2−r24−r2\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}}와 d(cos⁡θ)dr=−sin⁡θdθdr\displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr}을 모두 구함20
2-1A: B+와 더불어 식을 다 구했으나 답이 틀림20
2-1A+: A와 더불어 −233\displaystyle -\frac{2\sqrt3}3을 구함20
2-2F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음25
2-2E: 점 P나 Q의 좌표를 구함25
2-2D: tan⁡α1\displaystyle \tan\alpha_1이나 tan⁡α2\displaystyle \tan\alpha_2를 구함25
2-2C: 탄젠트함수의 덧셈정리를 이용하여 tan⁡α\displaystyle \tan\alpha를 구함25
2-2B: C와 더불어 합성함수의 미분을 이용하여 tan⁡α\displaystyle \tan\alpha의 미분을 구함25
2-2B+: B와 더불어 임계점을 구하는 근을 구함25
2-2A: B+와 더불어 P\displaystyle P의 x\displaystyle x좌표나 y\displaystyle y좌표를 구함25
2-2A+: 앞의 과정을 거쳐 P\displaystyle P의 좌표 (2−6313,3+4313)\displaystyle \left(\frac{2-6\sqrt3}{13},\frac{3+4\sqrt3}{13}\right)을 구함25

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