[2-1]
∠ B A O \displaystyle \angle BAO ∠ B A O α \displaystyle \alpha α 2 α + θ = π 2 \displaystyle 2\alpha+\theta=\frac\pi2 2 α + θ = 2 π
직각삼각형 A B O \displaystyle ABO A B O sin α = r 2 \displaystyle \sin\alpha=\frac r2 sin α = 2 r cos α = 4 − r 2 2 \displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{4-r^2}}2 cos α = 2 4 − r 2
삼각함수의 덧셈정리에 의하여 sin 2 α = sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α = r 4 − r 2 2 \displaystyle \sin2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2 sin 2 α = sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α = 2 r 4 − r 2
따라서 cos θ = sin ( π 2 − θ ) = sin 2 α = r 4 − r 2 2 \displaystyle \cos\theta=\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=\sin2\alpha=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2 cos θ = sin ( 2 π − θ ) = sin 2 α = 2 r 4 − r 2 d ( cos θ ) d r = 1 2 ( 1 ⋅ 4 − r 2 + r ( − 2 r ) 2 4 − r 2 ) = 2 − r 2 4 − r 2 \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac12\left(1\cdot\sqrt{4-r^2}+\frac{r(-2r)}{2\sqrt{4-r^2}}\right)=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}} d r d ( cos θ ) = 2 1 ( 1 ⋅ 4 − r 2 + 2 4 − r 2 r ( − 2 r ) ) = 4 − r 2 2 − r 2 또한, 합성함수의 미분법에 의하여 d ( cos θ ) d r = − sin θ d θ d r \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr} d r d ( cos θ ) = − sin θ d r d θ
따라서 − sin θ d θ d r = 2 − r 2 4 − r 2 \displaystyle -\sin\theta\frac{d\theta}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}} − sin θ d r d θ = 4 − r 2 2 − r 2 d θ d r = r 2 − 2 4 − r 2 ⋅ 1 sin θ \displaystyle \frac{d\theta}{dr}=\frac{r^2-2}{\sqrt{4-r^2}}\cdot\frac1{\sin\theta} d r d θ = 4 − r 2 r 2 − 2 ⋅ sin θ 1
r = 1 \displaystyle r=1 r = 1 sin α = 1 2 \displaystyle \sin\alpha=\frac12 sin α = 2 1 α = π 6 \displaystyle \alpha=\frac\pi6 α = 6 π θ = π 6 \displaystyle \theta=\frac\pi6 θ = 6 π sin θ = sin π 6 = 1 2 \displaystyle \sin\theta=\sin\frac\pi6=\frac12 sin θ = sin 6 π = 2 1
따라서 r = 1 \displaystyle r=1 r = 1 d θ d r = 1 − 2 4 − 1 ⋅ 2 = − 2 3 = − 2 3 3 \displaystyle \frac{d\theta}{dr}=\frac{1-2}{\sqrt{4-1}}\cdot2=-\frac2{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}3 d r d θ = 4 − 1 1 − 2 ⋅ 2 = − 3 2 = − 3 2 3
[2-2]
P ( cos θ , sin θ ) , 0 ≤ θ ≤ π \displaystyle P(\cos\theta,\sin\theta),\ 0\le\theta\le\pi P ( cos θ , sin θ ) , 0 ≤ θ ≤ π Q ( cos θ , sin θ + 1 ) \displaystyle Q(\cos\theta,\sin\theta+1) Q ( cos θ , sin θ + 1 ) 점 P \displaystyle P P x \displaystyle x x H \displaystyle H H ∠ S Q H = α 1 \displaystyle \angle SQH=\alpha_1 ∠ S Q H = α 1 ∠ P Q H = α 2 \displaystyle \angle PQH=\alpha_2 ∠ P Q H = α 2 ∠ S Q P = α \displaystyle \angle SQP=\alpha ∠ S QP = α Correction. 각의 표기 ∠ S Q H \displaystyle \angle SQH ∠ S Q H ∠ P Q H \displaystyle \angle PQH ∠ P Q H ∠ S Q P \displaystyle \angle SQP ∠ S QP ∠ Q S H \displaystyle \angle QSH ∠ QS H ∠ P S H \displaystyle \angle PSH ∠ P S H ∠ Q S P \displaystyle \angle QSP ∠ QS P tan α 1 = sin θ + 1 2 − cos θ \displaystyle \tan\alpha_1=\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta} tan α 1 = 2 − cos θ sin θ + 1 tan α 2 = sin θ 2 − cos θ \displaystyle \tan\alpha_2=\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta} tan α 2 = 2 − cos θ sin θ
tan α = tan ( α 1 − α 2 ) = tan α 1 − tan α 2 1 + tan α 1 tan α 2 = sin θ + 1 2 − cos θ − sin θ 2 − cos θ 1 + sin θ + 1 2 − cos θ sin θ 2 − cos θ = 2 − cos θ 5 − 4 cos θ + sin θ \displaystyle \begin{aligned}\tan\alpha&=\tan(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{\tan\alpha_1-\tan\alpha_2}{1+\tan\alpha_1\tan\alpha_2}\\&=\frac{\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta}-\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}}{1+\frac{\sin\theta+1}{2-\cos\theta}\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}}\\&=\frac{2-\cos\theta}{5-4\cos\theta+\sin\theta}\end{aligned} tan α = tan ( α 1 − α 2 ) = 1 + tan α 1 tan α 2 tan α 1 − tan α 2 = 1 + 2 − c o s θ s i n θ + 1 2 − c o s θ s i n θ 2 − c o s θ s i n θ + 1 − 2 − c o s θ s i n θ = 5 − 4 cos θ + sin θ 2 − cos θ 양변을 미분하면 sec 2 α α ′ ( θ ) = sin θ ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) − ( 2 − cos θ ) ( 4 sin θ + cos θ ) ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) 2 = − 3 sin θ − 2 cos θ + 1 ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) 2 = 0 \displaystyle \begin{aligned}\sec^2\alpha\,\alpha^{\prime}(\theta)&=\frac{\sin\theta(5-4\cos\theta+\sin\theta)-(2-\cos\theta)(4\sin\theta+\cos\theta)}{(5-4\cos\theta+\sin\theta)^2}\\&=\frac{-3\sin\theta-2\cos\theta+1}{(5-4\cos\theta+\sin\theta)^2}=0\end{aligned} sec 2 α α ′ ( θ ) = ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) 2 sin θ ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) − ( 2 − cos θ ) ( 4 sin θ + cos θ ) = ( 5 − 4 cos θ + sin θ ) 2 − 3 sin θ − 2 cos θ + 1 = 0 따라서 3 sin θ + 2 cos θ − 1 = 0 ( ∗ ) \displaystyle 3\sin\theta+2\cos\theta-1=0\ (*) 3 sin θ + 2 cos θ − 1 = 0 ( ∗ ) cos θ = ± 1 − sin 2 θ \displaystyle \cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta} cos θ = ± 1 − sin 2 θ 2 1 − sin 2 θ = 1 − 3 sin θ \displaystyle 2\sqrt{1-\sin^2\theta}=1-3\sin\theta 2 1 − sin 2 θ = 1 − 3 sin θ 양변을 제곱하면 4 ( 1 − sin 2 θ ) = 1 − 6 sin θ + 9 sin 2 θ \displaystyle 4(1-\sin^2\theta)=1-6\sin\theta+9\sin^2\theta 4 ( 1 − sin 2 θ ) = 1 − 6 sin θ + 9 sin 2 θ 정리하면 13 sin 2 θ − 6 sin θ − 3 = 0 \displaystyle 13\sin^2\theta-6\sin\theta-3=0 13 sin 2 θ − 6 sin θ − 3 = 0
2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 sin θ = 3 ± 48 13 \displaystyle \sin\theta=\frac{3\pm\sqrt{48}}{13} sin θ = 13 3 ± 48
그러나 0 ≤ θ ≤ π \displaystyle 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π sin θ ≥ 0 \displaystyle \sin\theta\ge0 sin θ ≥ 0 sin θ = 3 + 4 3 13 \displaystyle \sin\theta=\frac{3+4\sqrt3}{13} sin θ = 13 3 + 4 3 y \displaystyle y y
이때, x \displaystyle x x cos θ = 1 2 ( 1 − 3 sin θ ) = 2 − 6 3 13 \displaystyle \cos\theta=\frac12(1-3\sin\theta)=\frac{2-6\sqrt3}{13} cos θ = 2 1 ( 1 − 3 sin θ ) = 13 2 − 6 3
그러므로 ∠ P S Q \displaystyle \angle PSQ ∠ P S Q P \displaystyle P P ( 2 − 6 3 13 , 3 + 4 3 13 ) \displaystyle \left(\frac{2-6\sqrt3}{13},\frac{3+4\sqrt3}{13}\right) ( 13 2 − 6 3 , 13 3 + 4 3 )
하위 문항 채점 기준 배점 2-1 F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음 20 2-1 E: sin α \displaystyle \sin\alpha sin α cos α \displaystyle \cos\alpha cos α r \displaystyle r r α = π 6 = θ \displaystyle \alpha=\frac\pi6=\theta α = 6 π = θ 20 2-1 D: 사인함수의 덧셈정리를 사용하여 sin 2 α \displaystyle \sin2\alpha sin 2 α 20 2-1 C: D와 더불어 cos θ \displaystyle \cos\theta cos θ 20 2-1 B: C와 더불어 합성함수의 미분법을 사용하여 d ( cos θ ) d r = 2 − r 2 4 − r 2 \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}} d r d ( cos θ ) = 4 − r 2 2 − r 2 d ( cos θ ) d r = − sin θ d θ d r \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr} d r d ( cos θ ) = − sin θ d r d θ 20 2-1 B+: B와 더불어 합성함수의 미분법을 사용하여 d ( cos θ ) d r = 2 − r 2 4 − r 2 \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=\frac{2-r^2}{\sqrt{4-r^2}} d r d ( cos θ ) = 4 − r 2 2 − r 2 d ( cos θ ) d r = − sin θ d θ d r \displaystyle \frac{d(\cos\theta)}{dr}=-\sin\theta\frac{d\theta}{dr} d r d ( cos θ ) = − sin θ d r d θ 20 2-1 A: B+와 더불어 식을 다 구했으나 답이 틀림 20 2-1 A+: A와 더불어 − 2 3 3 \displaystyle -\frac{2\sqrt3}3 − 3 2 3 20 2-2 F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음 25 2-2 E: 점 P나 Q의 좌표를 구함 25 2-2 D: tan α 1 \displaystyle \tan\alpha_1 tan α 1 tan α 2 \displaystyle \tan\alpha_2 tan α 2 25 2-2 C: 탄젠트함수의 덧셈정리를 이용하여 tan α \displaystyle \tan\alpha tan α 25 2-2 B: C와 더불어 합성함수의 미분을 이용하여 tan α \displaystyle \tan\alpha tan α 25 2-2 B+: B와 더불어 임계점을 구하는 근을 구함 25 2-2 A: B+와 더불어 P \displaystyle P P x \displaystyle x x y \displaystyle y y 25 2-2 A+: 앞의 과정을 거쳐 P \displaystyle P P ( 2 − 6 3 13 , 3 + 4 3 13 ) \displaystyle \left(\frac{2-6\sqrt3}{13},\frac{3+4\sqrt3}{13}\right) ( 13 2 − 6 3 , 13 3 + 4 3 ) 25
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.