자연계열 A 2번

[문제 2-1] 답: $\displaystyle 2\sqrt2$

[풀이]

곡선 $\displaystyle y=e^{x-1}+2$와 곡선 $\displaystyle y=1+\ln(x-2)$는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이고, 직선 $\displaystyle l$은 기울기가 $\displaystyle -1$이므로 직선 $\displaystyle y=x$에 수직이다. 따라서 점 $\displaystyle A$의 좌표가 $\displaystyle (x,e^{x-1}+2)$일 때, 점 $\displaystyle B$의 좌표는 $\displaystyle (e^{x-1}+2,x)$이다. 이 때$\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x-e^{x-1}-2)^2+(e^{x-1}+2-x)^2}=\sqrt2(e^{x-1}-x+2)$이다.$\displaystyle f(x)=\sqrt2(e^{x-1}-x+2)$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt2(e^{x-1}-1)=0$을 풀어 $\displaystyle x=1$을 얻는다. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\sqrt2e^{x-1}$이고, $\displaystyle f^{\prime\prime}(1)=\sqrt2>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle \overline{AB}$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=2\sqrt2$이다.

[문제 2-2] 답: $\displaystyle \frac32$

[풀이]

점 $\displaystyle D$의 좌표를 $\displaystyle (a,-a+t)$ (또는 $\displaystyle (a,(a-1)^{\frac13})$)라 하면, $\displaystyle (a-1)^{\frac13}=-a+t$이다. 이 때 점 $\displaystyle F$의 좌표는 $\displaystyle (a,0)$이고, 따라서 정사각형 $\displaystyle OFGE$의 넓이는 $\displaystyle a^2$이다.

$\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle DF$, 곡선 $\displaystyle y=(x-1)^{\frac13}$으로 둘러싸인 정사각형 $\displaystyle OFGE$ 내부의 영역의 넓이는 $\displaystyle \int_1^a(x-1)^{\frac13}dx$이다. 곡선 $\displaystyle y=x^3+1$과 곡선 $\displaystyle y=(x-1)^{\frac13}$은 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로 이 넓이는 $\displaystyle y$축, 직선 $\displaystyle CE$, 곡선 $\displaystyle y=x^3+1$으로 둘러싸인 정사각형 $\displaystyle OFGE$ 내부의 영역의 넓이와 같다. 따라서 $\displaystyle S(t)=a^2-2\int_1^a(x-1)^{\frac13}dx$이다. (이 때 $\displaystyle (a-1)^{\frac13}=-a+t$이다.)

$\displaystyle \int_1^a(x-1)^{\frac13}dx=\Biggl[\frac34(x-1)^{\frac43}\Biggr]_1^a=\frac34(a-1)^{\frac43}$이므로,$\displaystyle S(t)=a^2-\frac32(a-1)^{\frac43}$이다. 합성함수의 미분법에 의하여$\displaystyle S^{\prime}(t)=2a\frac{da}{dt}-\frac32\cdot\frac43(a-1)^{\frac13}\frac{da}{dt}=2a\frac{da}{dt}-2(a-1)^{\frac13}\frac{da}{dt}$이다.

$\displaystyle (a-1)^{\frac13}=-a+t$이므로 $\displaystyle t=3$일 때 $\displaystyle a-1=(3-a)^3$이고 따라서$\displaystyle a^3-9a^2+28a-28=(a-2)(a^2-7a+14)=0$이다. $\displaystyle a^2-7a+14>0$이므로 $\displaystyle t=3$일 때 $\displaystyle a=2$를 얻는다.$\displaystyle (a-1)^{\frac13}=-a+t$이므로 $\displaystyle t=(a-1)^{\frac13}+a$이고 $\displaystyle \frac{dt}{da}=\frac13(a-1)^{-\frac23}+1$이다. $\displaystyle t=3$일 때 $\displaystyle a=2$이므로 $\displaystyle \frac{dt}{da}=\frac43$이다.역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle t=3$일 때 $\displaystyle \frac{da}{dt}=\frac1{\frac{dt}{da}}=\frac34$이다.

따라서 $\displaystyle S^{\prime}(3)=2\cdot2\cdot\frac34-2\cdot(2-1)^{\frac13}\cdot\frac34=3-\frac32=\frac32$이다.