자연계열 B 1번

[1-1]

$\displaystyle D$의 좌표를 $\displaystyle D(t,t^2)$라 하자. ($\displaystyle t$는 양수)먼저, 점 $\displaystyle E,F$의 좌표를 $\displaystyle t$로 나타내자.$\displaystyle D,E,F$를 지나는 직선을 $\displaystyle l$이라 하자.$\displaystyle D$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle 2t$이므로 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle -\frac1{2t}$이다.

직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle D$를 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y-t^2=-\frac1{2t}(x-t)$이다

직선의 식에 $\displaystyle y=0$을 대입하면 $\displaystyle x=t+2t^3$이므로 $\displaystyle F$의 좌표는 $\displaystyle F(t+2t^3,0)$이다.이제 $\displaystyle E$의 $\displaystyle x$좌표를 구하자. 직선의 식에 포물선의 식 $\displaystyle y=x^2$를 대입하면$\displaystyle x^2-t^2=-\frac1{2t}(x-t)$에서 $\displaystyle (x-t)(x+t)=-\frac1{2t}(x-t)$이다.$\displaystyle E$의 $\displaystyle x$좌표를 구하기 위해서는 $\displaystyle x\ne t$인 경우만 생각하면 되므로 $\displaystyle x+t=-\frac1{2t}$에서 $\displaystyle x=-t-\frac1{2t}$이다. 따라서 $\displaystyle E$의 좌표는 $\displaystyle E\left(-t-\frac1{2t},\left(t+\frac1{2t}\right)^2\right)$이다.지금까지 계산한 점의 좌표는 아래와 같다.$\displaystyle D(t,t^2),\quad E\left(-t-\frac1{2t},\left(t+\frac1{2t}\right)^2\right),\quad F(t+2t^3,0)$

점 $\displaystyle D,E$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle D_1,E_1$이라 하자.$\displaystyle D,E,F$가 일직선상에 있으므로 삼각형 $\displaystyle EE_1F$와 삼각형 $\displaystyle DD_1F$는 닮은꼴이고, 닮음비는 $\displaystyle \frac{\overline{EF}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{ED}+\overline{DF}}{\overline{DF}}=\frac{3+1}{1}=\frac41$이다.따라서 $\displaystyle \overline{EE_1}:\overline{DD_1}=4:1$이고, 선분 $\displaystyle \overline{DD_1},\overline{EE_1}$의 길이가 각각 $\displaystyle D,E$의 $\displaystyle y$좌표이므로 $\displaystyle \frac41=\frac{\overline{EE_1}}{\overline{DD_1}}=\frac{\left(t+\frac1{2t}\right)^2}{t^2}=\frac{4t^4+4t^2+1}{4t^4}$이다.따라서 $\displaystyle 12t^4-4t^2-1=0$, $\displaystyle (2t^2-1)(6t^2+1)=0$, $\displaystyle t^2=\frac12$이다.그런데 $\displaystyle t$가 양수이므로 $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}$이고 $\displaystyle D$의 좌표는 $\displaystyle (t,t^2)=\left(\frac1{\sqrt2},\frac12\right)$이다.

[1-2]

점 $\displaystyle A,B$의 좌표를 각각 $\displaystyle (a,a^2),(b,b^2)$이라 하자.$\displaystyle C$의 좌표를 $\displaystyle (c_1,c_2)$라 하고 $\displaystyle c_1,c_2$를 $\displaystyle a,b$로 나타내자.점 $\displaystyle A$에서의 접선은 $\displaystyle y-a^2=2a(x-a)$에서 $\displaystyle y=2ax-a^2$이다.같은 방법으로 점 $\displaystyle B$에서의 접선은 $\displaystyle y=2bx-b^2$이고, 이 두 개의 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=\frac{a+b}2,y=ab$이다.따라서 $\displaystyle c_1=\frac{a+b}2,c_2=ab$이고 $\displaystyle C$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{a+b}2,ab\right)$이다.$\displaystyle 1\le a\le2,-2\le b\le-1$이므로 $\displaystyle C$의 $\displaystyle y$좌표인 $\displaystyle ab$는 음수이므로, $\displaystyle C$는 $\displaystyle x$축의 아래에 있다.

$\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle A$에서의 접선은 $\displaystyle y=2x-1$이고 $\displaystyle a$가 증가하면 접선의 $\displaystyle x$축의 아래에 있는 부분은 점점 아래로 이동하여 $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle y=4x-4$가 된다.

비슷하게, $\displaystyle b=-1$일 때 $\displaystyle B$에서의 접선은 $\displaystyle y=-2x-1$이고 $\displaystyle b$가 감소하면 접선의 $\displaystyle x$축 아래에 있는 부분은 점점 아래로 이동하여 $\displaystyle b=-2$일 때 $\displaystyle y=-4x-4$가 된다.

따라서 $\displaystyle C$가 속하는 영역은 네 점 $\displaystyle (1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4)$에서의 접선들인 아래 네 직선으로 둘러싸여 있고 $\displaystyle x$축 아래에 있는 부분이다. ([그림 A]의 채색된 부분)$\displaystyle y=2x-1,\quad y=-2x-1,\quad y=4x-4,\quad y=-4x-4$위 네 직선의 교점들 중 $\displaystyle x$축의 아래에 있는 것은 다음과 같다.$\displaystyle (0,-1),(0,-4),\left(\frac12,-2\right),\left(-\frac12,-2\right)$

이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac32$이고, 이것이 구하는 답이다.