수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 A 1번

건국대 2021학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021su/jayeona_1

배점25점
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문제

제시문 1

(가) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에서 n\displaystyle n의 값이 한없이 커질 때, an\displaystyle a_n의 값이 일정한 값 α\displaystyle \alpha에 한없이 가까워지면 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 α\displaystyle \alpha에 수렴한다고 한다. 이때 α\displaystyle \alpha를 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을 기호로 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha 또는 n→∞\displaystyle n\to\infty일 때 an→α\displaystyle a_n\to\alpha와 같이 나타낸다.

(나) [그림 1]에서 곡선 y=−x2+t (t>0)\displaystyle y=-x^2+t\ (t>0)은 직선 y=x\displaystyle y=x와 점 P1,P3\displaystyle P_1,P_3에서 만나고, 직선 y=−x\displaystyle y=-x와 점 P2,P4\displaystyle P_2,P_4에서 만난다. 네 점 P1,P2,P3,P4\displaystyle P_1,P_2,P_3,P_4를 모두 지나는 원이 C\displaystyle C이다. 제1사분면의 점 P1\displaystyle P_1에서 원 C\displaystyle C에 접하는 직선이 x\displaystyle x축과 만나는 점이 Q\displaystyle Q이다. ∠P1QO\displaystyle \angle P_1QO의 크기는 θ\displaystyle \theta이다.

포물선과 두 직선의 교점 네 개를 지나는 원과 접선
[그림 1]

문제 1-1제시문 1의 (나)에서 자연수 n\displaystyle n에 대하여 t=n\displaystyle t=n일 때, 사각형 P1P2P3P4\displaystyle P_1P_2P_3P_4의 넓이를 Rn\displaystyle R_n이라 하고, 원 C\displaystyle C의 넓이를 Sn\displaystyle S_n이라 하자. 다음 극한값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.lim⁡n→∞RnSn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{R_n}{S_n}

문제 1-2제시문 1의 (나)에서 sin⁡θ=35\displaystyle \sin\theta=\frac35일 때, t\displaystyle t의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

해설강의 준비중

건국대 2021학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021su/jayeona_1

[문제 1-1] 답: 2π\displaystyle \frac2\pi

[풀이]

점 P1\displaystyle P_1의 좌표를 (a,a)\displaystyle (a,a), 점 P3\displaystyle P_3의 좌표를 (b,b)\displaystyle (b,b)라 하자. 원 C\displaystyle C의 중심을 D\displaystyle D라 하자. 대칭성에 의하여 점 D\displaystyle D는 y\displaystyle y축 위에 있으므로 D(0,c)\displaystyle D(0,c)라 놓을 수 있다.

DP1‾=DP3‾\displaystyle \overline{DP_1}=\overline{DP_3}이므로 a2+(a−c)2=b2+(b−c)2\displaystyle a^2+(a-c)^2=b^2+(b-c)^2이고, a2−b2=(b−c)2−(a−c)2\displaystyle a^2-b^2=(b-c)^2-(a-c)^2을 얻는다.(a−b)(a+b)=(b−c−a+c)(b−c+a−c)\displaystyle (a-b)(a+b)=(b-c-a+c)(b-c+a-c)이고,a−b≠0\displaystyle a-b\ne0이므로, a+b=2c−(a+b)\displaystyle a+b=2c-(a+b)이다.a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 이차방정식 −x2+t=x\displaystyle -x^2+t=x, 즉, x2+x−t=0\displaystyle x^2+x-t=0의 두 근이다. 근과 계수의 관계에서 a+b=−1\displaystyle a+b=-1이다.따라서 −1=2c−(−1)\displaystyle -1=2c-(-1)이고, c=−1\displaystyle c=-1이다.그러므로 원의 중심은 D(0,−1)\displaystyle D(0,-1)이다.원의 반지름은 a2+(a−c)2=a2+(a+1)2=2(a2+a)+1\displaystyle \sqrt{a^2+(a-c)^2}=\sqrt{a^2+(a+1)^2}=\sqrt{2(a^2+a)+1}이다,a\displaystyle a는 x2+x−t=0\displaystyle x^2+x-t=0을 만족하므로, 원의 반지름은 1+2t\displaystyle \sqrt{1+2t}이다.t=n\displaystyle t=n일 때, 원의 반지름은 1+2n\displaystyle \sqrt{1+2n}이고 원의 넓이는 Sn=(2n+1)π\displaystyle S_n=(2n+1)\pi이다.사각형P1P2P3P4\displaystyle P_1P_2P_3P_4은 사다리꼴이고, t=n\displaystyle t=n일 때 넓이는Rn=12(2a+2(−b))(a−b)=(a−b)2=(a+b)2−4ab\displaystyle R_n=\frac12(2a+2(-b))(a-b)=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab이고, 근과 계수의 관계에서 a+b=−1\displaystyle a+b=-1, ab=−n\displaystyle ab=-n이므로, Rn=1+4n\displaystyle R_n=1+4n이다.

그러므로 lim⁡n→∞RnSn=lim⁡n→∞1+4n(2n+1)π=2π\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{R_n}{S_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+4n}{(2n+1)\pi}=\frac2\pi이다.

원의 넓이와 사다리꼴의 넓이를 구하는 그림

[문제 1-2] 답: 12

[풀이]

원 C\displaystyle C의 반지름을 r\displaystyle r이라 하면 중심이 D(0,−1)\displaystyle D(0,-1)이므로 원의 방정식은 x2+(y+1)2=r2\displaystyle x^2+(y+1)^2=r^2이다.x2+(y+1)2=r2\displaystyle x^2+(y+1)^2=r^2의 도함수 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 음함수 미분법에 의하여 구하면 dydx=−xy+1\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y+1}이다.P1(a,a)\displaystyle P_1(a,a)로 놓으면, 원 C\displaystyle C의 점 P1\displaystyle P_1에서 그은 접선의 기울기는 −aa+1\displaystyle -\frac{a}{a+1}이다.tan⁡θ=−tan⁡(π−θ)=−(−aa+1)=aa+1\displaystyle \tan\theta=-\tan(\pi-\theta)=-\left(-\frac{a}{a+1}\right)=\frac{a}{a+1}이다.한편, sin⁡θ=35\displaystyle \sin\theta=\frac35이므로 cos⁡θ=45\displaystyle \cos\theta=\frac45이고 tan⁡θ=34\displaystyle \tan\theta=\frac34이다.

따라서 34=aa+1\displaystyle \frac34=\frac{a}{a+1}이고, a=3\displaystyle a=3이다. 점 P1\displaystyle P_1의 좌표는 (3,3)\displaystyle (3,3)이다.

원의 반지름은 r=DP1‾=(3−0)2+(3−(−1))2=5\displaystyle r=\overline{DP_1}=\sqrt{(3-0)^2+(3-(-1))^2}=5이다.r=1+2t\displaystyle r=\sqrt{1+2t}이므로 1+2t=5\displaystyle \sqrt{1+2t}=5이고, 따라서 t=12\displaystyle t=12이다.

원의 중심과 접점 및 접선의 각도
하위 문항채점 기준배점
1-1F: 답안이 공란이거나 문제와 관련없는 내용을 적음10
1-1E: DP1‾=DP3‾\displaystyle \overline{DP_1}=\overline{DP_3} 등의 간단한 내용을 적음10
1-1D: 점 P1,P2,P3,P4\displaystyle P_1,P_2,P_3,P_4 중 2개의 좌표를 t\displaystyle t에 대하여 구함10
1-1C: 원의 중심 D(0,−1)\displaystyle D(0,-1) 또는 원의 반지름 1+2t\displaystyle \sqrt{1+2t}를 구함10
1-1B: C와 더불어, Rn\displaystyle R_n과 Sn\displaystyle S_n을 계산했으나 둘 다 틀림10
1-1B+: C와 더불어 Rn=1+4n\displaystyle R_n=1+4n과 Sn=(2n+1)π\displaystyle S_n=(2n+1)\pi 중 하나를 구함10
1-1A: C와 더불어 Rn=1+4n\displaystyle R_n=1+4n과 Sn=(2n+1)π\displaystyle S_n=(2n+1)\pi 모두 구함10
1-1A+: A와 더불어 lim⁡n→∞RnSn=2π\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{R_n}{S_n}=\frac2\pi를 구함10
1-2F: 답안이 공란이거나 문제와 관련없는 내용을 적음15
1-2E: 원 C\displaystyle C의 방정식 x2+(y+1)2=r2\displaystyle x^2+(y+1)^2=r^2을 적음15
1-2D: E와 더불어 dydx=−xy+1\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y+1}를 구함15
1-2C: D와 더불어 원 C\displaystyle C의 접선의 기울기 −aa+1\displaystyle -\frac{a}{a+1}를 구함15
1-2B: C와 더불어 tan⁡θ=aa+1\displaystyle \tan\theta=\frac{a}{a+1}를 구함15
1-2B+: B와 더불어 tan⁡θ=34\displaystyle \tan\theta=\frac34을 구함15
1-2A: B+와 더불어 r=5\displaystyle r=5를 구함15
1-2A+: A와 더불어 t=12\displaystyle t=12를 구함15
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