인문사회계 Ⅱ 2번

▶ 2-1번 문항(1) 생산량을 한 단위 늘릴 때마다($\displaystyle \Delta Q$) 추가적으로 소요되는 비용, 즉 총생산비용의 증가($\displaystyle \Delta C$)는 총생산비용 함수의 도함수 $\displaystyle C^{\prime}(Q)=3aQ^2+2bQ+c$로 나타낼 수 있다.Caution. 평균변화율과 순간변화율을 구별해야 한다: $\displaystyle C′(Q)$는 생산량 $\displaystyle Q$에서의 총생산비용의 순간변화율이다. 생산량을 $\displaystyle Q$에서 $\displaystyle Q+1$로 실제로 늘릴 때 추가되는 비용은 $\displaystyle C(Q+1)-C(Q)$이며, 증가폭이 $\displaystyle 1$이므로 같은 구간의 평균변화율이기도 하다. 두 값이 항상 같은 것은 아니다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(2) 문제에서 $\displaystyle a=1$은 주어졌으므로 이 삼차함수는 $\displaystyle C(Q)=Q^3+bQ^2+cQ+d$로 나타낼 수 있다. 이 삼차함수의 도함수를 구하면 $\displaystyle C^{\prime}(Q)=3Q^2+2bQ+c$와 같고, 제시문에서 $\displaystyle Q=4$에서 극대값을, $\displaystyle Q=8$에서 극소값을 갖는다고 하였으므로 다음 두 식이 성립한다.$\displaystyle C^{\prime}(4)=0$으로부터 $\displaystyle 48+8b+c=0$$\displaystyle C^{\prime}(8)=0$으로부터 $\displaystyle 192+16b+c=0$두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle 144=-8b$가 도출되므로 여기서 $\displaystyle b=-18$이 된다. 그리고 $\displaystyle b=-18$을 앞서 제시한 두 식 중 어느 것에 대입하더라도 $\displaystyle c=96$를 도출할 수 있다.그리고 문제에서 $\displaystyle Q=5$일 때 총생산비용 $\displaystyle C(Q)$는 160이라고 하였으므로 앞서 구한 $\displaystyle b=-18$과 $\displaystyle c=96$를 대입하여 구한 $\displaystyle C(5)=5^3-(18\times5^2)+(96\times5)+d=125-450+480+d=160$이 성립하여야 하며, 따라서 $\displaystyle d=5$가 된다.즉, 제시된 조건을 충족하는 총생산함수는 $\displaystyle C(Q)=Q^3-18Q^2+96Q+5$가 된다.(3) 문제에서 총생산비용은 생산량이 없더라도 0보다 크다고 하였으므로 $\displaystyle d>0$이 성립한다. 그리고 생산량이 증가하면 생산비용은 항상 증가한다고 하였으므로 $\displaystyle a>0$이어야 한다. 이 총생산함수의 도함수는 $\displaystyle C^{\prime}(Q)=3aQ^2+2bQ+c$와 같이 구할 수 있는데, 이 $\displaystyle C^{\prime}(Q)$는 이차함수이므로 제시된 세 번째 특징을 충족하기 위해서는 $\displaystyle x$축에 접하거나 교차하지 않는 U자형의 포물선 형태를 가져야 한다.이것은 $\displaystyle 3aQ^2+2bQ+c=0$의 판별식 $\displaystyle D$의 부호는 $\displaystyle D<0$이어야 하므로 $\displaystyle D=(2b)^2-4(3a\times2b)=4(b^2-3ac)<0$이어야 한다.Caution. 미분가능한 증가함수나 감소함수도 도함수가 0인 점이 있을 수 있다: 함수가 증가하더라도 도함수가 한 점에서 0이 될 수 있다. 따라서 $\displaystyle D=0$인 경우도 가능하며, $\displaystyle D\le0$에서 $\displaystyle 3ac\ge b^2>0$이므로 $\displaystyle c>0$을 얻는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 판별식의 $\displaystyle -4(3a\times2b)$는 $\displaystyle -4(3a\times c)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.앞서 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle b<0$로 주어졌으므로 $\displaystyle c>0$이어야 한다. 결과적으로 $\displaystyle a>0,\ c>0,\ d>0$이다.

▶ 2-2번 문항(1) 제시문을 표로 옮기면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}&\text{야간 음주 비율}&\text{야간 비음주 비율}&\text{야간 주행 비율}\\\hline\text{청년층}&5\%&95\%&20\%\\\text{장년층}&5\%&95\%&80\%\end{array}$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}&\text{야간 음주 비틀거리는 비율}&\text{야간 음주 비틀거리지 않는 비율}\\\hline\text{청년층}&20\%\times5\%\times30\%&20\%\times5\%\times70\%\\\text{장년층}&80\%\times5\%\times30\%&80\%\times5\%\times70\%\end{array}$단속으로 하룻밤 동안 적발되는 운전자일 사건을 $\displaystyle A$, 음주 운전한 청년일 사건을 $\displaystyle B$라고 하자. 야간 운행하는 청년 운전자들은 모두 단속 대상이므로 정확도가 100%인 측정기로 모두 적발이 된다. 그리고 비틀거리는 장년층 운전 차량도 모두 단속 대상이 되므로 단속으로 하룻밤 동안 적발되는 운전자들 중 청년의 비율은$\displaystyle P(B|A)=\frac{0.2\times0.05}{0.2\times0.05+0.8\times0.05\times0.3}=\frac{100}{100+120}=\frac5{11}$이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac{500}{11}\%\fallingdotseq45.5\%$이다.(2) 음주테스트를 받은 청년은 총 3940명이고, 비틀거리는 청년 음주운전자 60명을 제외하면 3940명 가운데, 총140명의 청년운전자가 음주를 한 상태이다. 음주를 한 청년들 중에 60%인 84명이 구형기기로 음주측정을 받는데, 이 중에 $\displaystyle 84\times0.8=67.2$명이 적발된다. 140명 중에 40%인 56명은 신형기기로 음주테스트를 받는데, 이들은 모두 적발되게 된다. 따라서, 음주운전으로 판명되는 청년 수의 기댓값은 123.2명이다.음주테스트를 받는 청년들 가운데, 음주운전으로 판명되는 청년의 수는 123.2명이고, 이를 음주테스트를 한 3940명으로 나누면 $\displaystyle \left(\frac{67.2+56}{3940}\right)\approx0.0313$이다. 따라서 무작위로 선정된 한명의 청년운전자가 음주운전으로 판명될 확률은 0.031이다.

▶ 2-3번 문항(1) 주어진 조건 $\displaystyle m=0,a=2,b=8$으로부터, $\displaystyle g(x)=-6(x^2-10x+16)$이고, 그래프는 그림과 같다. 이때, 정적분을 이용하여 계산하면,$\displaystyle f(x)=\int_0^x g(t)\,dt=\int_0^x-6(t^2-10t+16)\,dt=\Biggl[-2t^3+30t^2-48\cdot2t\Biggr]_0^x=-2x^3+30x^2-48\cdot2x$$\displaystyle =-2x^3+30x^2-48\cdot2x=-2x(x^2-15x+48)$이다. 이 함수는 $\displaystyle f(0)=0$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x=2,8$에서 극댓값 혹은 극솟값을 갖는다. $\displaystyle x=2$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 음수에서 양수로 바뀌므로, $\displaystyle x=2$에서 $\displaystyle f(x)$는 극솟값을 갖는다. 또한, $\displaystyle x=8$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 양수에서 음수로 바뀌므로, $\displaystyle x=8$에서 $\displaystyle f(x)$는 극댓값을 갖는다. 이때, 평균 경기수준을 나타내는 함수가 $\displaystyle y=0$이므로, 경기가 회복기에서 확장기로 넘어가는 때는 $\displaystyle f(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$값 중의 하나이다. 이를 만족하는 값은 $\displaystyle x=0,\frac{15\pm\sqrt{15^2-4\cdot48}}2=0,\frac{15\pm\sqrt{33}}2$이다. (함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형은 그림과 같다 ($\displaystyle a=2,\ c=\frac{15-\sqrt{33}}2\approx4.6,\ b=8,\ d=\frac{15+\sqrt{33}}2\approx10.4,\quad4.5<c<5,\ 10<d<10.5$).이중 $\displaystyle x=0$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(0)=g(0)<0$이므로, 수축기이다.

그림 1에서 보듯이, $\displaystyle x=\frac{15-\sqrt{33}}2$의 값에서 경기는 회복기에서 확장기로 넘어간다.Correction. ‘그림 1’은 ‘그림 3’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(2) 주어진 조건 $\displaystyle m=0$으로부터, $\displaystyle g(x)=-6(x^2-(a+b)x+ab)$이다.(i) $\displaystyle n=1$일때, $\displaystyle a=3/2,\ b=9$이고, $\displaystyle g(x)=-6\left(x^2-\frac{21}2x+\frac{27}2\right)$이다. 이때,$\displaystyle f(x)=\int_0^x g(t)\,dt=-6x\left(\frac13x^2-\frac{21}4x+\frac{27}2\right)=-\frac x2(4x^2-63x+6\cdot27)$이다.경기가 가장 정점인 때는 함수 $\displaystyle f(x)$가 극댓값을 갖을 때이다, 즉 $\displaystyle x=b=9$일 때이다. $\displaystyle n=1$이므로, $\displaystyle x=9$이고, 경기가 가장 좋을 때는 지금부터 9년 후이다.(*)이 함수의 $\displaystyle x$절편은$\displaystyle x=0,\frac{63\pm\sqrt{(63)^2-4\cdot4\cdot6\cdot27}}{2\cdot4}=0,\frac{63\pm\sqrt{3969-2592}}8=0,\frac{63\pm\sqrt{1377}}8$이다. $\displaystyle 37<\sqrt{1377}<38$이므로 $\displaystyle 3.125<\frac{63-\sqrt{1377}}8<3.25,\quad12.5<\frac{63+\sqrt{1377}}8<12.625$이고,$\displaystyle a=1.5<c\approx3.24<b=9<d\approx12.51$이다. 따라서, 확장기는 $\displaystyle \frac{63-\sqrt{1377}}8$년 이후 시작한다.)(ii) $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a=1,\ \lim_{n\to\infty}b=8$이다. 이 조건으로 함수 $\displaystyle f(x)$를 구하면$\displaystyle f(x)=\int_0^xg(t)\,dt=\int_0^x-6(t^2-9t+8)\,dt=-6\Biggl[\frac13t^3-\frac92t^2+8t\Biggr]_0^x=-6\left(\frac13x^3-\frac92x^2+8x\right)$$\displaystyle =-x(2x^2-27x+48)$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 최댓값은 극댓값을 갖을 때 값인 $\displaystyle f(b)=f(8)$이다. 따라서, 3차 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f(8)=-8(2\cdot8^2-27\cdot8+48)=-64(16-27+6)=64\cdot5=320.$(*)이 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle x=0,\frac{27\pm\sqrt{27^2-4\cdot2\cdot48}}{2\cdot2}=0,\frac{27\pm\sqrt{729-384}}4=0,\frac{27\pm\sqrt{345}}4$이다.또한 $\displaystyle 18<\sqrt{345}<19,\quad2<\frac{27-\sqrt{345}}4<2.25,\quad11.25<\frac{27+\sqrt{345}}4<11.5$).(3) $\displaystyle a=2,b=8$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$를 구하면$\displaystyle f(x)=\int_0^xg(t)\,dt=\int_0^x(-m^2+2m-6)(t^2-10t+16)\,dt=(-m^2+2m-6)\Biggl[\frac13t^3-5t^2+16t\Biggr]_0^x$$\displaystyle =(-m^2+2m-6)\left(\frac13x^3-5x^2+16x\right)=-\frac{m^2-2m+6}3x(x^2-15x+48)$이 때, $\displaystyle f(x)$의 최댓값과 최솟값은 $\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x=2,8$에서 각각 극솟값과 극댓값을 가지므로 주어진 $\displaystyle m$값에 따라 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 그림과 같이 위아래로 움직일 수 있다.

함수 $\displaystyle H(m)$을 계산하여 완전 제곱식으로 표현하면,$\displaystyle H(m)=f(8)-f(2)=\left[-\frac{m^2-2m+6}3 8(8^2-15\cdot8+48)\right]-\left[-\frac{m^2-2m+6}3 2(2^2-15\cdot2+48)\right]$Caution. 닫힌 구간에서 최댓값·최솟값을 구할 때는 구간 내부의 극값뿐 아니라 양 끝점의 함수값도 비교해야 한다: 대학 답안은 구간 내부의 극솟값 $\displaystyle f(2)$를 최솟값으로 삼았지만, 정의역이 $\displaystyle [0,13]$이므로 양 끝점의 함수값도 비교해야 한다. 최솟값은 $\displaystyle f(13)$이고 최댓값은 $\displaystyle f(8)$이다. 따라서 $\displaystyle H(m)=f(8)-f(13)=\frac{350((m-1)^2+5)}3$이며, $\displaystyle m=1$일 때 최솟값은 $\displaystyle \frac{1750}3$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =\frac{m^2-2m+6}3(64+44)=\frac{108}3(m^2-2m+6)=36((m-1)^2+5)\quad(m\ge0)$이다. 이 때, $\displaystyle H^{\prime}(m)=36(2m-2)=0$이므로, $\displaystyle m=1$에서 극점을 갖는다. 따라서, 함수 $\displaystyle H(m)$는 $\displaystyle m=1$에서 극솟값이자 최솟값인 $\displaystyle H(1)=36\cdot5=180$을 가진다.