자연계열 B 2번

[문제 2-1] 답: $\displaystyle \frac52$풀이:

$\displaystyle \angle BAC$의 크기가 $\displaystyle \theta$일 때 점 $\displaystyle C$의 좌표를 $\displaystyle (x,x^2)$이라 하자. 그러면$\displaystyle S=2x\cdot x^2-2\int_0^xt^2dt=2x^3-\frac23x^3=\frac43x^3$이다. $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac{dS}{dx}\frac{dx}{d\theta}=4x^2\frac{dx}{d\theta}$이다. 선분 $\displaystyle AO$와 선분 $\displaystyle BC$의 교점을 $\displaystyle D$라 하자. 직각삼각형 $\displaystyle ADC$에서$\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac x{3-x^2}$이고 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하여$\displaystyle \sec^2\frac\theta2\cdot\frac12\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{3+x^2}{(3-x^2)^2}$을 얻는다.$\displaystyle \overline{BC}=2$일 때 $\displaystyle x=1$이고 이때 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac12$이고 $\displaystyle \sec\frac\theta2=\frac{\sqrt5}2$이다.$\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle \frac{d\theta}{dx}=\frac85$이므로 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac1{\frac{d\theta}{dx}}=\frac58$이다.$\displaystyle \overline{BC}=2$일 때 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=4x^2\frac{dx}{d\theta}=4\cdot1\cdot\frac58=\frac52$이다.

[문제 2-2] 답: $\displaystyle 4+4\sqrt3$풀이:

$\displaystyle \angle APB$의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하자. $\displaystyle \angle AOB=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \angle ACB=\frac\pi4$이다.삼각형 $\displaystyle BCP$에서 $\displaystyle \angle CBD=\frac\pi4-\theta$이고 따라서 $\displaystyle \angle COD=\frac\pi2-2\theta$이다.$\displaystyle \overline{CD}=2$이고 원의 반지름 또한 2이므로 $\displaystyle \angle COD=\frac\pi3$이다.따라서 $\displaystyle \frac\pi2-2\theta=\frac\pi3$이고, $\displaystyle \theta=\frac\pi{12}$임을 알 수 있다.$\displaystyle \angle APB=\frac\pi{12}$인 점 $\displaystyle P$는 현 $\displaystyle AB$에 대한 원주각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$인 원 위에 있다.따라서 이 원의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 $\displaystyle \overline{AP}$는 이 원의 지름이 될 때 가장 큰 값을 갖는다.점 $\displaystyle P$의 현 $\displaystyle AB$에 대한 원주각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$이므로 $\displaystyle r\sin\frac\pi{12}=\frac12\overline{AB}=\sqrt2$이다.삼각함수의 덧셈정리를 이용하여$\displaystyle \sin\frac\pi{12}=\sin\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4-\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$를 얻는다. 따라서$\displaystyle r=\sqrt2\cdot\frac4{\sqrt6-\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt2+\sqrt6)=2+2\sqrt3$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{AP}$의 값 중 가장 큰 것은 $\displaystyle 2r=4+4\sqrt3$이다.