건국대 2022학년도 수시 자연계열 B 2번 해설

제시문 2

(가) 일반적으로 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 정의역에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 $\displaystyle x$ 에 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 를 대응시키면 새로운 함수를 얻는다. 이 함수를 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 도함수라 한다.

(나) 다음은 사인함수와 코사인 함수의 덧셈정리이다. $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

(다) [그림 3]은 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 과 점 $\displaystyle A(0,3)$ 을 나타낸 것이다. 두 점 $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 는 이 곡선 위의 점이고 직선 $\displaystyle BC$ 는 $\displaystyle x$ 축에 평행하다. 색칠한 도형은 직선 $\displaystyle BC$ 와 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 으로 둘러싸인 도형이다.

(라) [그림 4]는 중심이 원점 $\displaystyle O$ 이고 반지름이 2인 원을 나타낸 것이다. 원 위에 점 $\displaystyle A(-\sqrt2,\sqrt2)$ 와 $\displaystyle B(\sqrt2,\sqrt2)$ 가 있다. 원 밖의 점 $\displaystyle P$ 에 대하여 선분 $\displaystyle AP$ 와 원의 교점이 $\displaystyle C$ , 선분 $\displaystyle BP$ 와 원의 교점이 $\displaystyle D$ 이다.

문제 2-1제시문 2의 (다)에서 $\displaystyle \angle BAC$ 의 크기가 $\displaystyle \theta$ 일 때 색칠한 도형의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$ 라 하자. $\displaystyle \overline{BC}=2$ 일 때 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}$ 의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

문제 2-2제시문 2의 (라)에서 $\displaystyle \overline{CD}=2$ 일 때 $\displaystyle \overline{AP}$ 의 값 중 가장 큰 것을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

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[문제 2-1] 답: $\displaystyle \frac52$ 풀이:

$\displaystyle \angle BAC$ 의 크기가 $\displaystyle \theta$ 일 때 점 $\displaystyle C$ 의 좌표를 $\displaystyle (x,x^2)$ 이라 하자. 그러면 $\displaystyle S=2x\cdot x^2-2\int_0^xt^2dt=2x^3-\frac23x^3=\frac43x^3$ 이다. $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac{dS}{dx}\frac{dx}{d\theta}=4x^2\frac{dx}{d\theta}$ 이다. 선분 $\displaystyle AO$ 와 선분 $\displaystyle BC$ 의 교점을 $\displaystyle D$ 라 하자. 직각삼각형 $\displaystyle ADC$ 에서 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac x{3-x^2}$ 이고 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle \sec^2\frac\theta2\cdot\frac12\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{3+x^2}{(3-x^2)^2}$ 을 얻는다. $\displaystyle \overline{BC}=2$ 일 때 $\displaystyle x=1$ 이고 이때 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac12$ 이고 $\displaystyle \sec\frac\theta2=\frac{\sqrt5}2$ 이다. $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle \frac{d\theta}{dx}=\frac85$ 이므로 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac1{\frac{d\theta}{dx}}=\frac58$ 이다. $\displaystyle \overline{BC}=2$ 일 때 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=4x^2\frac{dx}{d\theta}=4\cdot1\cdot\frac58=\frac52$ 이다.

[문제 2-2] 답: $\displaystyle 4+4\sqrt3$ 풀이:

$\displaystyle \angle APB$ 의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라 하자. $\displaystyle \angle AOB=\frac\pi2$ 이므로 $\displaystyle \angle ACB=\frac\pi4$ 이다.삼각형 $\displaystyle BCP$ 에서 $\displaystyle \angle CBD=\frac\pi4-\theta$ 이고 따라서 $\displaystyle \angle COD=\frac\pi2-2\theta$ 이다. $\displaystyle \overline{CD}=2$ 이고 원의 반지름 또한 2이므로 $\displaystyle \angle COD=\frac\pi3$ 이다.따라서 $\displaystyle \frac\pi2-2\theta=\frac\pi3$ 이고, $\displaystyle \theta=\frac\pi{12}$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle \angle APB=\frac\pi{12}$ 인 점 $\displaystyle P$ 는 현 $\displaystyle AB$ 에 대한 원주각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 인 원 위에 있다.따라서 이 원의 반지름을 $\displaystyle r$ 이라 하면 $\displaystyle \overline{AP}$ 는 이 원의 지름이 될 때 가장 큰 값을 갖는다.점 $\displaystyle P$ 의 현 $\displaystyle AB$ 에 대한 원주각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 이므로 $\displaystyle r\sin\frac\pi{12}=\frac12\overline{AB}=\sqrt2$ 이다.삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle \sin\frac\pi{12}=\sin\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4-\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle r=\sqrt2\cdot\frac4{\sqrt6-\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt2+\sqrt6)=2+2\sqrt3$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{AP}$ 의 값 중 가장 큰 것은 $\displaystyle 2r=4+4\sqrt3$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
2-1	A+: 정답과 풀이가 맞음. A: B+와 더불어 $\displaystyle \frac{d\theta}{dx}$ 를 바르게 구함. B+: B와 더불어 $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle \sec\frac\theta2$ 의 값을 구함. B: $\displaystyle \frac12\cdot\sec^2\frac\theta2\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{3+x^2}{(3-x^2)^2}$ 을 구함. C: $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac x{3-x^2}$ 을 구함. D: $\displaystyle S=2x\cdot x^2-2\int_0^xt^2dt$ 를 구함. E: 풀이와 관계있는 의미있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.	20
2-2	A+: 정답과 풀이가 맞음. A: 풀이가 모두 맞았으나 마지막 단계에서 계산 실수가 있음. B+: B와 더불어 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 에 대한 삼각함수 값을 계산함. B: 문제에서 요구하는 값이 선분 $\displaystyle AB$ 를 현으로 하고 원주각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 인 원의 지름에 해당함을 보임. C: $\displaystyle \angle APB$ 의 크기가 $\displaystyle P$ 의 위치에 관계없이 일정함을 보임. D: 선분 $\displaystyle CD,BD$ 등의 중심각이나 원주각 등 의미 있는 계산을 함. E: 풀이와 관계있는 의미있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.	25

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