자연계열 A 2번

[문제 2-1] 답: $\displaystyle -\frac{4\sqrt3}{39}$

풀이: 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=t(x+1)$이다. 점의 좌표를 $\displaystyle A(a,a^2),B(b,b^2)$이라 놓자.직선 $\displaystyle OA$의 기울기를 $\displaystyle \tan\theta_1$, 직선 $\displaystyle OB$의 기울기를 $\displaystyle \tan\theta_2$라 하면 $\displaystyle \tan\theta_1=a,\ \tan\theta_2=b$이다. 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여$\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{a-b}{1+ab}$를 얻는다. $\displaystyle a,b$는 방정식 $\displaystyle t(x+1)=x^2$, 즉 $\displaystyle x^2-tx-t=0$의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle a+b=t,ab=-t$를 얻는다.$\displaystyle a-b<0$이므로 $\displaystyle a-b=-\sqrt{(a+b)^2-4ab}=-\sqrt{t^2+4t}$이다. 따라서$\displaystyle \tan\theta=-\frac{\sqrt{t^2+4t}}{1-t}=\frac{\sqrt{t^2+4t}}{t-1}$이다. 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면$\displaystyle \sec^2\theta\cdot\theta^{\prime}(t)=\frac{\frac{2t+4}{2\sqrt{t^2+4t}}(t-1)-\sqrt{t^2+4t}}{(t-1)^2}$이다. $\displaystyle t=2$일 때 $\displaystyle \tan\theta=2\sqrt3$이고 이 때 $\displaystyle \sec\theta=\sqrt{13}$이다. 그러므로$\displaystyle 13\theta^{\prime}(2)=-\frac{4\sqrt3}3$이고 따라서 $\displaystyle \theta^{\prime}(2)=-\frac{4\sqrt3}{39}$이다.

[문제 2-2] 답: 4풀이: 원의 중심을 $\displaystyle O$라 하자.

현 $\displaystyle CD$의 원주각 $\displaystyle CED$를 $\displaystyle \alpha$, 현 $\displaystyle EF$의 원주각 $\displaystyle EDF$를 $\displaystyle \beta$라 하자. 그러면$\displaystyle \angle COD=2\alpha,\ \angle EOF=2\beta$이다. 반지름이 2이므로 삼각형 $\displaystyle CDO$에서 $\displaystyle \overline{CD}=2\cdot2\sin\alpha=4\sin\alpha$이고 삼각형 $\displaystyle EFO$에서 $\displaystyle \overline{EF}=4\sin\beta$이다. 따라서$\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}=4(\sin\alpha+\sin\beta)$이다. 삼각형 $\displaystyle DEP$에서 $\displaystyle \alpha+\beta=\angle CPD=\frac\pi3$이므로$\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}=4\left(\sin\alpha+\sin\left(\frac\pi3-\alpha\right)\right)$이다. 삼각함수의 덧셈정리로부터$\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}=4\left(\sin\alpha+\sin\left(\frac\pi3-\alpha\right)\right)$$\displaystyle =4\left(\sin\alpha+\frac{\sqrt3}2\cos\alpha-\frac12\sin\alpha\right)$$\displaystyle =2\sin\alpha+2\sqrt3\cos\alpha$이다. $\displaystyle f(\alpha)=2\sin\alpha+2\sqrt3\cos\alpha$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=2\cos\alpha-2\sqrt3\sin\alpha=0$을 풀면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac1{\sqrt3}$이고 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$를 얻는다. $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi6$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)>0$이고 $\displaystyle \frac\pi6<\alpha<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)<0$이므로 $\displaystyle f(\alpha)$는 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$일 때 최댓값 $\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)=4$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}$는 값 중 가장 큰 것은 4이다.Correction. ‘$\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}$는 값’은 ‘$\displaystyle \overline{CD}+\overline{EF}$의 값’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.