자연계열 A 1번

[문제 1-1] 답: $\displaystyle \frac{\sqrt5}3$

풀이: $\displaystyle O_2$에서 직선 $\displaystyle O_1A_1$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle P$라 하면, $\displaystyle \angle O_1O_2P=\theta$에 대하여$\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{O_1P}}{\overline{O_1O_2}}=\frac{2r+1}{3r}$이고, 따라서 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\sin\theta=\frac23$이고 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\cos\theta=\frac{\sqrt5}3$이다.$\displaystyle A_2$에서 직선 $\displaystyle O_1A_1$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle Q$라 하면, $\displaystyle \overline{A_2Q}=\overline{O_2P}=3r\cos\theta$이다.따라서 $\displaystyle \overline{A_1A_2}=\sqrt{\overline{A_1Q}^2+\overline{A_2Q}^2}=\sqrt{1+9r^2\cos^2\theta}$그러므로 극한값은 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac{\sqrt{1+9r^2\cos^2\theta}}{3r}=\frac{\sqrt5}3$

[문제 1-2] 답: $\displaystyle p=17,\ q=16$

풀이: 풀이:Correction. ‘풀이:’가 중복되었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.식을 전개하면 $\displaystyle (5+2x)^n=5^n\left(1+\frac25x\right)^n=5^n\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k\left(\frac25\right)^kx^k$이므로,$\displaystyle a_k=5^n{}_{n}\mathrm C_k\left(\frac25\right)^k$의 값이 최대가 되는 $\displaystyle k$값을 구하면 된다.$\displaystyle a_k<a_{k+1}$이 되는 $\displaystyle k$의 조건을 구한다.먼저 $\displaystyle a_k<a_{k+1}$이 되는 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k}>1$이다. 한편, $\displaystyle a_k<a_{k+1}$일 때,$\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{5^n\cdot{}_{n}\mathrm C_{k+1}\cdot(\frac25)^{k+1}}{5^n\cdot{}_{n}\mathrm C_k\cdot(\frac25)^k}=\frac25\cdot\frac{n-k}{k+1}>1$이다. 따라서 $\displaystyle k<\frac{2n-5}7$이면, $\displaystyle a_k<a_{k+1}$이다.그리고 $\displaystyle k>\frac{2n-5}7$이면, $\displaystyle a_k>a_{k+1}$이다.한편 $\displaystyle n=60$이고 $\displaystyle k<\frac{2n-5}7=\frac{115}7=16.4\cdots$이므로, 계수들의 대소관계는 다음과 같다.$\displaystyle a_0<a_1<a_2<\cdots<a_{16}<a_{17}>a_{18}>a_{19}>\cdots>a_{60}\quad---\quad(*)$따라서 $\displaystyle k=17$일 때, 계수 $\displaystyle a_k$가 가장 크고, $\displaystyle p=17$이다.이제 두 번째 큰 계수를 찾기 위해 식 (*)에서 $\displaystyle a_{16}$과 $\displaystyle a_{18}$을 비교하면 된다.$\displaystyle \frac{a_{18}}{a_{16}}=\frac{5^{60}\cdot{}_{60}\mathrm C_{18}\cdot(\frac25)^{18}}{5^{60}\cdot{}_{60}\mathrm C_{16}\cdot(\frac25)^{16}}=\frac{44\cdot43}{18\cdot17}\cdot\frac4{25}=\frac{7568}{7650}<1$이므로, $\displaystyle a_{18}<a_{16}$이다. 따라서 두 번째 큰 계수는 $\displaystyle a_{16}$이고, $\displaystyle q=16$이다.