자연계열 B 1번

[문제 1-1] 답: $\displaystyle 5+2\sqrt2+\sqrt3$풀이:

삼각형 $\displaystyle ABD$의 외접원의 중심 $\displaystyle O_1$과 삼각형 $\displaystyle BCD$의 외접원의 중심 $\displaystyle O_2$를 지나는 직선이 각 원과 만나는 점을 $\displaystyle P_0,Q_0$라 하면, $\displaystyle \overline{P_0Q_0}$의 길이가 구하고자 하는 값임을 보이자.원 $\displaystyle O_1$ 위의 임의의 점 $\displaystyle P$와 원 $\displaystyle O_2$ 위의 임의의 점 $\displaystyle Q$에 대하여$\displaystyle \overline{PO_1}+\overline{O_1O_2}+\overline{O_2Q}=\overline{P_0Q_0}$이다. 그런데 $\displaystyle \overline{PQ}\le\overline{PO_1}+\overline{O_1O_2}+\overline{O_2Q}$이므로 $\displaystyle \overline{PQ}\le\overline{P_0Q_0}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{P_0Q_0}$가 구하고자 하는 값이다.원 $\displaystyle O_1$과 $\displaystyle O_2$의 반지름을 각각 $\displaystyle r_1$과 $\displaystyle r_2$라 하면 $\displaystyle \overline{P_0Q_0}=r_1+r_2+\overline{O_1O_2}$이다.삼각형 $\displaystyle ABD$와 $\displaystyle BCD$에 사인법칙을 적용하면 $\displaystyle 2r_2\sin\angle BCD=\overline{BD},\ 2r_1\sin\angle BAD=\overline{BD}$가 성립한다. 이로부터 $\displaystyle r_1=2,\ r_2=3$임을 알 수 있다.선분 $\displaystyle O_1O_2$와 선분 $\displaystyle BD$의 교점을 $\displaystyle H$라 하면, $\displaystyle \overline{BH}=1$이므로, $\displaystyle \overline{O_1H}=\sqrt3,\ \overline{O_2H}=2\sqrt2$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{O_1O_2}=\sqrt3+2\sqrt2$이다.그러므로 $\displaystyle \overline{P_0Q_0}=5+2\sqrt2+\sqrt3$이다.

[문제 1-2] 답: 83300

풀이: $\displaystyle A_1$이 선분 $\displaystyle A_0A_2$의 중점이므로 삼각형 $\displaystyle BA_0A_1$과 $\displaystyle BA_1A_2$는 넓이가 같다. 즉 $\displaystyle a_1=a_2$.$\displaystyle A_3$이 선분 $\displaystyle A_2A_4$의 중점이므로 삼각형 $\displaystyle BA_2A_3$과 $\displaystyle BA_3A_4$는 넓이가 같다. 즉 $\displaystyle a_3=a_4$.삼각형 $\displaystyle BA_1A_2$와 $\displaystyle BA_2A_3$은 밑변의 길이가 $\displaystyle \overline{BA_2}=2$이고 높이가 1이다. 즉 $\displaystyle a_2=a_3=1$.따라서 $\displaystyle a_1=a_2=a_3=a_4=1$이다.같은 이유로 $\displaystyle k=1,2,\ldots,25$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle A_{4k-3}$이 $\displaystyle A_{4k-4}A_{4k-2}$의 중점이므로 삼각형 $\displaystyle BA_{4k-4}A_{4k-3}$과 $\displaystyle BA_{4k-3}A_{4k-2}$는 넓이가 같다.$\displaystyle A_{4k-1}$이 $\displaystyle A_{4k-2}A_{4k}$의 중점이므로 삼각형 $\displaystyle BA_{4k-2}A_{4k-1}$과 $\displaystyle BA_{4k-1}A_{4k}$는 넓이가 같다.삼각형 $\displaystyle BA_{4k-3}A_{4k-2}$와 $\displaystyle BA_{4k-2}A_{4k-1}$은 밑변의 길이가 $\displaystyle \overline{BA_{4k-2}}=4k-2$이고 높이가 1이다. 따라서$\displaystyle a_{4k-3}=a_{4k-2}=a_{4k-1}=a_{4k}=\frac12\cdot(4k-2)\cdot1=2k-1$.$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n^2=\sum_{k=1}^{25}(a_{4k-3}^2+a_{4k-2}^2+a_{4k-1}^2+a_{4k}^2)=\sum_{k=1}^{25}4(2k-1)^2$$\displaystyle =\sum_{k=1}^{25}(16k^2-16k+4)=16\cdot\frac{25\cdot26\cdot51}6-16\cdot\frac{25\cdot26}2+4\cdot25$$\displaystyle =83300$