인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]주어진 예산 120을 모두 활용하여 지민이네 가족이 살 수 있는 소고기와 콜라의 수량은 $\displaystyle 4A+2B=120$을 만족시키는 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 조합이다. 이를 $\displaystyle B$에 대한 식으로 나타내면 $\displaystyle B=60-2A$가 되며, 이를 다시 지민이의 효용함수에 대입하면 $\displaystyle U(A,B)=AB=A(60-2A)=60A-2A^2$이 된다. 효용이 극대가 되는 $\displaystyle A$의 값을 구하기 위해 $\displaystyle A$에 대한 함수로 나타낸 효용함수를 $\displaystyle A$에 대해 미분하면 도함수 $\displaystyle 60-4A$를 얻게 되고, 이 식은 $\displaystyle A$가 15보다 작을 때는 양수, $\displaystyle A=15$일 때는 0, $\displaystyle A$가 15보다 클 때는 음수를 가진다. 따라서 지민이의 효용은 $\displaystyle A=15$에서 최대가 되며, $\displaystyle 4A+2B=120$을 이용하면 $\displaystyle A=15$일 때 $\displaystyle B=30$이 된다.

[문제 2-2]건국이가 $\displaystyle Q$만큼의 쌀을 생산할 때 얻는 이윤을 $\displaystyle \pi(Q)$라고 하면 $\displaystyle \pi(Q)=PQ-(16+4Q+Q^2)$이 된다. 이를 간단히 하면 $\displaystyle \pi(Q)=-Q^2+(P-4)Q-16$이 된다. 이윤함수를 미분한 도함수는 $\displaystyle \pi^{\prime}(Q)=-2Q+P-4$가 되며, 이는 $\displaystyle Q=\frac{P-4}2$에서 0이 되며, 그보다 작을 때는 양수, 그보다 클 때는 음수가 된다. 따라서 건국이의 이윤은 $\displaystyle Q=\frac{P-4}2$일 때 최대가 된다. 그 때 이윤을 구하기 위해 $\displaystyle Q=\frac{P-4}2$ 식을 이윤함수에 대입하면 $\displaystyle \pi(Q)=-Q^2+(P-4)Q-16=-\frac{(P-4)^2}4+(P-4)\times\frac{P-4}2-16$Caution. 최댓값·최솟값을 구할 때는 주어진 범위 밖의 값을 제외해야 한다: 생산량은 음수가 될 수 없으므로 $\displaystyle Q\ge0$에서 이윤을 비교해야 한다. $\displaystyle P<4$이면 $\displaystyle Q=\frac{P-4}{2}$는 허용 범위 밖이다. $\displaystyle P\le4$에서는 모든 $\displaystyle Q\ge0$에 대하여 $\displaystyle \pi(Q)\le-16$이므로 양의 이윤을 얻을 수 없다. $\displaystyle P>4$인 경우에 최대이윤이 양수가 될 조건을 구하면 대학 답안과 같이 $\displaystyle P>12$를 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =-\frac{(P-4)^2}4+\frac{(P-4)^2}2-16=\frac{(P-4)^2}4-16$이 된다. 건국이는 양(+)의 이윤을 얻을 수 있을 때 쌀농사를 지으므로 건국이가 쌀농사를 지을 조건은 $\displaystyle \frac{(P-4)^2}4-16>0$,따라서 $\displaystyle (P-4)^2>64$, 즉 $\displaystyle P-4>8$이므로 정리하면 $\displaystyle P>12$가 된다.

[문제2-3](1) K씨의 $\displaystyle x$년 이후 소비지출액 함수 $\displaystyle h(x)$는 3차 함수 $\displaystyle h(x)=-0.001x^2(x-60)$이다. 구간 $\displaystyle 0\le x\le60$에서 소비지출액 함수 $\displaystyle h(x)$의 최댓값을 구하기 위하여 미분을 구하면,$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac d{dx}[-0.001x^3+0.06x^2]=-0.003x^2+0.12x=-0.003x(x-40)$이다.아래 함수증감 테이블에서 볼 수 있는 것처럼 구간 $\displaystyle 0\le x\le60$에서 함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=40$에서 극댓값이자 최댓값 $\displaystyle h(40)$ 갖는다. 극댓값, 끝점에서의 함수값은$\displaystyle h(40)=-0.001\cdot40^2\cdot(-20)=32,$$\displaystyle h(0)=-0.001\cdot(0^2)(0-60)=0.$$\displaystyle h(60)=-0.001\cdot60^2\cdot0=0$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&40&\cdots&60\\\hline h^{\prime}(x)&&+&0&-&0\\\hline h(x)&0&\text{증가}&32&\text{감소}&0\end{array}$Caution. 같은 값을 표와 식에 여러 번 썼다면 서로 일치하는지 확인해야 한다: 증감표의 $\displaystyle h^{\prime}(60)=0$은 $\displaystyle h^{\prime}(60)=-3.6$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 향후 40년 이후 K씨의 소비지출액이 최대가 된다.(2) 개인적 노력이 부재하였을 때는 $\displaystyle s=0$일 때이다. 따라서 처분가능소득 함수 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle g(x)=\begin{cases}x&(0\le x\le30)\\-x+60&(30<x\le60)\end{cases}$이다. 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=30$일 때 최댓값 $\displaystyle 30\ (=g(30))$을 갖는다. 아래 그림에서 K씨의 소비지출액($\displaystyle h(x)$)이 처분가능소득 ($\displaystyle g(x)$)보다 많아지는 시점은 함수 $\displaystyle g(x)$가 함수 $\displaystyle h(x)$와 만나는 시점, 즉 그림에서 $\displaystyle x=t$일 때 이후이다.

문제 (1)번으로부터 함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=40$일 때 극댓값(=최댓값) 32를 가지므로, 함수 $\displaystyle g(x)$ (단, $\displaystyle 30<x\le60$)가 함수 $\displaystyle h(x)$와 만나는 시점을 구하면.$\displaystyle h(x)=g(x)\Rightarrow-0.001x^2(x-60)=-x+60\Rightarrow(x-60)(x^2-1000)=0$따라서 $\displaystyle x=60$ 또는 $\displaystyle \sqrt{1000}$ 또는 $\displaystyle -\sqrt{1000}$이고, 조건 $\displaystyle 30<x<40$을 만족하는 $\displaystyle t=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\approx31.6$이후 시점에 $\displaystyle h(x)>g(x)$을 만족한다. 따라서 K씨의 소비지출액이 처분가능소득보다 많아지는 시점은 32년 이후이다.Comment. 소비지출액이 소득보다 많은 범위는 $\displaystyle 10\sqrt{10}<x<60$이다. 연 단위로 확인하면 32년 후에 처음 소비지출액이 소득보다 많아진다.(3) 향후 30년까지 누적저축액은 함수 $\displaystyle g(x)$부터 함수 $\displaystyle h(x)$의 차의 적분값 즉, $\displaystyle Q(30)=\int_0^{30}[g(x)-h(x)]\,dx$이다.따라서 현재부터 향후 30년까지 늘어난 누적저축액은$\displaystyle \begin{aligned}Q(s)&=\int_0^{30}[g(x)-h(x)]\,dx=\int_0^{30}\left[\left(-\frac{s^2}4+s+1\right)x+0.001(x^3-60x^2)\right]\,dx\\&=\Biggl[\left(-\frac{s^2}4+s+1\right)\frac{x^2}2+0.001\frac{x^4}4-0.06\frac{x^3}3\Biggr]_0^{30}=\left(-\frac{s^2}4+s+1\right)\frac{30^2}2+0.001\frac{30^4}4-0.06\frac{30^3}3\\&=-\frac{30^2}8(s^2-4s+4-8)+\frac{405}2-540=-\frac{225}2(s-2)^2+900+\frac{405}2-540=-\frac{225}2(s-2)^2+360+\frac{405}2\\&=-\frac{225}2(s-2)^2+\frac{1125}2\end{aligned}$이다. 이때, 구간 $\displaystyle 0\le s\le3$에서 함수 $\displaystyle Q(s)$의 최댓값을 구하기 위하여 미분을 구하면 $\displaystyle Q^{\prime}(s)=-225(s-2)$이므로 아래함수증감 테이블에서 볼 수 있는 것처럼 함수 $\displaystyle Q(s)$는 $\displaystyle s=2$에서 극댓값이자 최댓값 $\displaystyle \frac{1125}2$ 갖는다. 끝점에서의 함수값은$\displaystyle Q(0)=-\frac{225}2(0-2)^2+\frac{1125}2=\frac{225}2,\quad Q(3)=-\frac{225}2(3-2)^2+\frac{1125}2=\frac{900}2$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}s&0&\cdots&2&\cdots&3\\\hline Q^{\prime}(s)&&+&0&-&0\\\hline Q(s)&\frac{225}2&\text{증가}&\frac{1125}2&\text{감소}&\frac{900}2\end{array}$Caution. 같은 값을 표와 식에 여러 번 썼다면 서로 일치하는지 확인해야 한다: 증감표의 $\displaystyle Q^{\prime}(3)=0$은 $\displaystyle Q^{\prime}(3)=-225$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 향후 30년까지 축적할 수 있는 최대 누적저축액은 노력강도 상수가 2일 때 ($\displaystyle s=2$일 때), $\displaystyle \frac{1125}2$백만 원(5억6천2백50만 원)이다.