자연계열 2번

[문제 2] 정답: 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt6$, 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{145}}2$

$\displaystyle \overline{AP}=x,\ \overline{AQ}=y,\ \angle PAQ=\alpha$라 하자.삼각형 $\displaystyle ABC$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \cos\alpha=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\times5\times6}=\frac15$이다.이로부터 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{2\sqrt6}5$임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{AB}\times\overline{AC}\times\sin\alpha=\frac12\times5\times6\times\frac{2\sqrt6}5=6\sqrt6$이다.문제의 조건에 의하여 삼각형 $\displaystyle APQ$의 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt6$이다. 그런데 삼각형 $\displaystyle APQ$의 넓이는$\displaystyle \frac12xy\sin\alpha=\frac{\sqrt6}5xy$이므로 $\displaystyle xy=15$임을 알 수 있다.코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \overline{PQ}^2=x^2+y^2-2xy\cos\alpha=x^2+y^2-2xy\times\frac15=x^2+y^2-6$이다.문제의 조건에 의하여 $\displaystyle 0<x\le6,\ 0<y\le5$이다.$\displaystyle y=\frac{15}x$이므로 $\displaystyle 0<\frac{15}x\le5$이다. 이를 정리하면 $\displaystyle x\ge3$, 따라서 $\displaystyle 3\le x\le6$이다.$\displaystyle \overline{PQ}^2=f(x)$라 하면 $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{15^2}{x^2}-6$.$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-(15^2)2x^{-3}=\frac2{x^3}(x-\sqrt{15})(x+\sqrt{15})(x^2+15^2)$Correction. 마지막 인수 $\displaystyle x^2+15^2$는 $\displaystyle x^2+15$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 3\le x\le6$ 범위에서 $\displaystyle x<\sqrt{15}$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>\sqrt{15}$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt{15}$에서 최솟값을, $\displaystyle x=3$ 또는 $\displaystyle x=6$에서 최댓값을 가진다.$\displaystyle f(\sqrt{15})=24,\ f(3)=28,\ f(6)=\frac{145}4$.그러므로 $\displaystyle \overline{PQ}$의 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt6$, 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{145}}2$이다.