자연계열 4번

[문제 4] 정답: $\displaystyle \tan L\left(\frac14\right)=\frac{\sqrt{15}-2}{2\sqrt{15}+1},\ t^2=\frac{-3+\sqrt{21}}8$

$\displaystyle L(t)=g^{-1}(t)-h^{-1}(t)$이다.$\displaystyle g(a)=\frac12\tan a=\frac14\Rightarrow\tan a=\frac12,\ h(b)=\sin b=\frac14\Rightarrow\tan b=\frac1{\sqrt{15}}$이다.탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle \tan L\left(\frac14\right)=\tan\left(g^{-1}\left(\frac14\right)-h^{-1}\left(\frac14\right)\right)$$\displaystyle =\tan(a-b)$$\displaystyle =\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$$\displaystyle =\frac{\frac12-\frac1{\sqrt{15}}}{1+\frac12\frac1{\sqrt{15}}}=\frac{\sqrt{15}-2}{2\sqrt{15}+1}$이다.$\displaystyle L(t)=g^{-1}(t)-h^{-1}(t)$을 미분하고, $\displaystyle \frac12\tan x_1=t\Rightarrow\cos x_1=\frac1{\sqrt{1+4t^2}}$$\displaystyle \sin x_2=t\Rightarrow\cos x_2=\sqrt{1-t^2}$을 이용하여$\displaystyle L^{\prime}(t)=\frac1{g^{\prime}(g^{-1}(t))}-\frac1{h^{\prime}(h^{-1}(t))}=\frac2{\sec^2(x_1)}-\frac1{\cos(x_2)}$$\displaystyle =\frac2{4t^2+1}-\frac1{\sqrt{1-t^2}}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{1-t^2}-(4t^2+1)}{(4t^2+1)\sqrt{1-t^2}}$이고, $\displaystyle L^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle \frac{2\sqrt{1-t^2}-(4t^2+1)}{(4t^2+1)\sqrt{1-t^2}}=0\Leftrightarrow16t^4+12t^2-3=0$$\displaystyle \therefore t^2=\frac{-3+\sqrt{21}}8$을 만족하는 양수 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle L(t)$는 극값을 가진다.$\displaystyle 0\le t\le\frac{\sqrt3}2$에 대하여 $\displaystyle L(0)=0=L\left(\frac{\sqrt3}2\right)$이므로 연속함수 $\displaystyle L(t)$는 $\displaystyle t=0$일 때 0에서 시작해서연속적으로 커지다가 다시 줄어들어 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2$일 때 다시 0이 된다.따라서 $\displaystyle t^2=\frac{-3+\sqrt{21}}8$인 양수 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle L(t)$는 최댓값이 된다.