자연계열 3번

[문제 3] 정답: $\displaystyle -8$

직선 $\displaystyle l$을 $\displaystyle y=mx$라 하면, $\displaystyle S(t)=\int_t^0(f(x)-mx)dx$이다.따라서, $\displaystyle S(t)=\int_0^t(mx-f(x))dx=\frac12mt^2-\int_0^tf(x)dx$이다.직선 $\displaystyle l$이 원점과 점 $\displaystyle (t,f(t))$를 지나므로 $\displaystyle m=\frac{f(t)}t$이고, $\displaystyle S(t)=\frac12tf(t)-\int_0^tf(x)dx$이다.$\displaystyle t$에 대해 미분하면, $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac12f(t)+\frac12tf^{\prime}(t)-f(t)=\frac12(tf^{\prime}(t)-f(t))$이다.따라서 $\displaystyle S^{\prime}(-2)=\frac12\times((-2)\times(-2)-20)=-8$이다.