자연계열 1번

[문제 1] 정답: 512개

[풀이] $\displaystyle n\ge1000$이므로 $\displaystyle \log_2n>\log_2512=9$이다. 따라서 $\displaystyle \log_2n$은 양수이고 $\displaystyle 5<(\log_2n)\sin\frac{n\pi}6<6$이므로 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6$도 양수이다. 또한 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6<\frac6{\log_2n}<\frac69$이고, $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6$가 될 수 있는 양수 $\displaystyle \frac12,\ \frac{\sqrt3}2,\ 1$ 중에서 이 부등식을 만족시키는 것은 $\displaystyle \frac12$뿐이다.따라서 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6=\frac12$이어야 한다.이때 $\displaystyle 5<\log_2n\times\frac12<6$으로부터 $\displaystyle 2^{10}=1024<n<2^{12}=4096$을 얻는다.$\displaystyle 0\le\theta<2\pi$일 때 $\displaystyle \sin\theta=\frac12$이면 $\displaystyle \theta=\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6$이다.따라서 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6=\frac12$인 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=1,13,25,\ \cdots$ 또는 $\displaystyle n=5,17,29,\ \cdots$이다.이 중 $\displaystyle 1024<n<4096$을 만족시키는 $\displaystyle n$은$\displaystyle 1033=12\times86+1,1045=12\times87+1,\cdots,4093=12\times341+1$의 256개와$\displaystyle 1025=12\times85+5,1037=12\times86+5,\cdots,4085=12\times340+5$의 256개이다.따라서 답은 $\displaystyle 256+256=512$개다.