자연계열 3번

[문제 3] 정답: 20가지

[풀이] 12를 3 이상의 자연수 3개의 합으로 쓰는 방법은 $\displaystyle 3+3+6,\ 3+4+5,\ 4+4+4$, 이렇게 3가지이므로 (나)의 도형은 3각형 2개와 6각형 1개로 이루어지든지 3각형과 4각형과 5각형으로 이루어지든지 4각형 3개로 이루어져야 한다. 또한 이 다각형들은 (나)의 왼쪽 그림처럼 다각형 사이에 다른 다각형이 없는 경우와 오른쪽 그림처럼 다각형 사이에 다른 다각형이 끼인 경우가 있다. 사이에 끼인 다각형은 기껏해야 1개이다.

(1) 끼인 다각형이 없는 경우4각형 3개로 도형을 만드는 방법이 1가지이다. 3각형 2개와 6각형 1개로 도형을 만드는 방법도 1가지이다. 3각형, 4각형, 5각형으로 도형을 만드는 방법은 시계방향 순서로 3각형, 4각형, 5각형이 나오는 경우와 3각형, 5각형, 4각형이 나오는 경우로 2가지이다.따라서 모두 $\displaystyle 1+1+2=4$가지가 있다.

(2) 끼인 다각형이 삼각형인 경우끼인 삼각형의 세 꼭짓점 중에서 2개는 원 위에서 서로 이웃하고 나머지 하나는 떨어져 있어야 한다. 원을 회전하여 일치하는 도형은 같은 것으로 보기 때문에 이웃한 두 꼭짓점이 아래쪽에 있고 떨어져 있는 꼭짓점이 위쪽에 있다고 할 수 있다. 왼쪽에 $\displaystyle a$각형, 오른쪽에 $\displaystyle b$각형이 있다고 했을 때 $\displaystyle (a,b)$가 될 수 있는 순서쌍은 $\displaystyle (3,6),(6,3),(4,5),(5,4)$ 이렇게 4개이다. 또한 이렇게 만들어진 도형들은 서로 다르다. 따라서 모두 4가지가 있다.

(3) 끼인 다각형이 사각형인 경우왼쪽에 $\displaystyle a$각형, 오른쪽에 $\displaystyle b$각형이 오는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은 $\displaystyle (3,5),(5,3),(4,4)$ 이렇게 3가지이다.아래 왼쪽 그림처럼 사각형의 네 꼭짓점이 2개씩 원 위에서 서로 이웃할 때는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍 $\displaystyle (3,5)$와 $\displaystyle (5,3)$은 같은 도형을 만들고 $\displaystyle (4,4)$는 새로운 도형을 만든다. 따라서 이 경우는 2가지가 있다.아래 오른쪽 그림처럼 사각형의 네 꼭짓점 중 3개가 원 위에서 서로 이웃하고 1개는 떨어져 있으면 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍 $\displaystyle (3,5),(5,3),(4,4)$는 모두 서로 다른 도형을 만든다. 따라서 이 경우는 3가지가 있다.따라서 끼인 다각형이 사각형인 경우는 모두 $\displaystyle 2+3=5$가지가 있다.

(4) 끼인 다각형이 오각형인 경우왼쪽에 $\displaystyle a$각형, 오른쪽에 $\displaystyle b$각형이 오는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은 $\displaystyle (3,4),(4,3)$ 이렇게 2가지이다.오각형의 5개의 꼭짓점 중에서 이웃한 꼭짓점의 개수는 1개와 4개이든지 2개와 3개이다.각각의 경우 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍 $\displaystyle (3,4)$와 $\displaystyle (4,3)$은 서로 다른 도형을 만든다.따라서 끼인 다각형이 오각형인 경우는 $\displaystyle 2\times2=4$가지가 있다.

(5) 끼인 다각형이 육각형인 경우왼쪽에 $\displaystyle a$각형, 오른쪽에 $\displaystyle b$각형이 오는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은 $\displaystyle (3,3)$ 하나이다. 육각형의 6개의 꼭짓점 중에서 이웃한 꼭짓점의 개수는 1개와 5개, 2개와 4개, 3개와 3개 이렇게 3가지 경우가 있다. 따라서 끼인 다각형이 육각형인 경우는 3가지가 있다.

(1), (2), (3), (4), (5)에 의하여 구하는 도형의 총 개수는 $\displaystyle 4+4+5+4+3=20$이다.