통합계열 2번

[문제 2-1] 정답: (1) 1, (2) $\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}$

[풀이](1) $\displaystyle kx-5=(x-3)^2+2$가 $\displaystyle x\ge3$일 때 실근을 가져야 한다.정리하면 $\displaystyle x^2-(k+6)x+16=0$이고, 판별식 $\displaystyle D=(k+6)^2-4\times1\times16=k^2+12k-28\ge0$이어야 하므로 $\displaystyle k\le-14$ 또는 $\displaystyle k\ge2$이다. $\displaystyle x\ge3$일 때 실근을 가지므로 $\displaystyle k\ge2$이고 따라서 $\displaystyle a=2$이다.곡선 $\displaystyle C_2$는 곡선 $\displaystyle C_1$을 원점에 대칭이동한 것이므로 방정식은 $\displaystyle y=-(x+3)^2-2\ (x\le-3)$이다. $\displaystyle kx-5=-(x+3)^2-2$가 $\displaystyle x\le-3$일 때 실근을 가져야 한다. 직선 $\displaystyle \ell$은 기울기가 $\displaystyle k$이고 점 $\displaystyle (0,-5)$를 지나는 직선이므로, $\displaystyle k$는 곡선 $\displaystyle C_2$의 꼭짓점 $\displaystyle (-3,-2)$와 점 $\displaystyle (0,-5)$를 지나는 직선의 기울기보다 크거나 같아야 한다. 따라서 $\displaystyle b=\frac{(-5)-(-2)}{0-(-3)}=-1$이다.따라서 $\displaystyle a+b=2+(-1)=1$이다.

(2) 점 P는 직선 $\displaystyle y=2x-5$와 $\displaystyle y$축의 교점이므로 좌표는 $\displaystyle (0,-5)$이다. $\displaystyle 2x-5=(x-3)^2+2$를 풀면 $\displaystyle x=4$이고, 따라서 점 A의 좌표는 $\displaystyle (4,3)$이다. 점 B는 곡선 $\displaystyle C_2$의 꼭짓점 $\displaystyle (-3,-2)$이다. 따라서,$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74},\quad\overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5,\quad\overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2$코사인법칙을 이용하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{18+80-74}{2\times3\sqrt2\times4\sqrt5}=\frac1{\sqrt{10}}$$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac1{10}}=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

[문제 2-2] 정답: 512개

[풀이] $\displaystyle n\ge1000$이므로 $\displaystyle \log_2n>\log_2512=9$이다. 따라서 $\displaystyle \log_2n$은 양수이고 $\displaystyle 5<(\log_2n)\sin\frac{n\pi}6<6$이므로 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6$도 양수이다. 또한 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6<\frac6{\log_2n}<\frac69$이고, $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6$가 될 수 있는 양수 $\displaystyle \frac12,\ \frac{\sqrt3}2,\ 1$ 중에서 이 부등식을 만족시키는 것은 $\displaystyle \frac12$뿐이다.따라서 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6=\frac12$이어야 한다.이때 $\displaystyle 5<\log_2n\times\frac12<6$으로부터 $\displaystyle 2^{10}=1024<n<2^{12}=4096$을 얻는다.$\displaystyle 0\le\theta<2\pi$일 때 $\displaystyle \sin\theta=\frac12$이면 $\displaystyle \theta=\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6$이다.따라서 $\displaystyle \sin\frac{n\pi}6=\frac12$인 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=1,13,25,\ \cdots$ 또는 $\displaystyle n=5,17,29,\ \cdots$이다.이 중 $\displaystyle 1024<n<4096$을 만족시키는 $\displaystyle n$은$\displaystyle 1033=12\times86+1,1045=12\times87+1,\cdots,4093=12\times341+1$의 256개와$\displaystyle 1025=12\times85+5,1037=12\times86+5,\cdots,4085=12\times340+5$의 256개이다.따라서 답은 $\displaystyle 256+256=512$개다.

[문제 2-3] 정답: $\displaystyle m=\frac{6-2\sqrt2}7$

[풀이] 직선 AP, AQ의 방정식은 각각 $\displaystyle y=m(x+1),\ y=2m(x+1)$이다.$\displaystyle y=1-x^2$과 연립하여 풀면 P, Q의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P(1-m,m(2-m)),\mathrm Q(1-2m,2m(2-2m))$이다.점 P, Q에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm Q_1$이라 하면, $\displaystyle f(m)$은 정적분 $\displaystyle \int_{1-2m}^{1-m}(1-x^2)dx$의 값과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AQQ}_1$의 넓이를 합해서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APP}_1$의 넓이를 뺀 값이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{APP}_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AP}_1}\times\overline{\mathrm{PP}_1}=\frac12(2-m)\times m(2-m)=\frac12m(2-m)^2$.삼각형 $\displaystyle \mathrm{AQQ}_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AQ}_1}\times\overline{\mathrm{QQ}_1}=\frac12(2-2m)\times2m(2-2m)=4m(1-m)^2$.정적분의 값은 $\displaystyle \int_{1-2m}^{1-m}(1-x^2)dx=\Biggl[x-\frac13x^3\Biggr]_{1-2m}^{1-m}=3m^2-\frac73m^3$따라서$\displaystyle f(m)=3m^2-\frac73m^3+4m(1-m)^2-\frac12m(2-m)^2=\frac76m^3-3m^2+2m$$\displaystyle f^{\prime}(m)=\frac72m^2-6m+2$$\displaystyle f^{\prime}(m)=0$일 때 $\displaystyle 7m^2-12m+4=0$이므로 $\displaystyle m=\frac{6\pm2\sqrt2}7$이다.도함수 $\displaystyle f^{\prime}(m)$의 부호를 이용하여 함수 $\displaystyle f(m)$의 증가와 감소를 고려하면 $\displaystyle m=\frac{6-2\sqrt2}7$일 때 $\displaystyle f(m)$이 최대이다.