자연계열 4번

[문제 4] 정답: (1) $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac\pi{12}\right)=2-\frac{\sqrt3}2$ (2) 점 P와 점 Q의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}8,\ \frac{-7+\sqrt{17}}{16}$

[풀이](1) 선분 AP, 선분 AB, 호 PB로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라 하자.$\displaystyle S(t)$는 삼각형 AOP의 넓이와 부채꼴 POB의 넓이의 합이므로$\displaystyle S(t)=\frac12\cdot1^2\cdot\sin(\pi-2t)+\frac12\cdot1^2\cdot2t=t+\frac12\sin2t.$같은 이유로 선분 AQ, 선분 AB, 호 QB로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle S(2t)$이다. 따라서$\displaystyle f(t)=S(2t)-S(t)=t+\frac12(\sin4t-\sin2t)$$\displaystyle f^{\prime}(t)=1+\frac12(4\cos4t-2\cos2t)=2\cos4t-\cos2t+1$코사인 함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle \cos4t=\cos(2t+2t)=\cos^22t-\sin^22t=\cos^22t-(1-\cos^22t)=2\cos^22t-1.$따라서$\displaystyle f^{\prime}(t)=2(2\cos^22t-1)-\cos2t+1=4\cos^22t-\cos2t-1$$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac\pi{12}\right)=4\cos^2\frac\pi6-\cos\frac\pi6-1=4\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2-\frac{\sqrt3}2-1=2-\frac{\sqrt3}2$

(2) $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이면 $\displaystyle 4\cos^22t-\cos2t-1=0$이므로 $\displaystyle \cos2t=\frac{1\pm\sqrt{17}}8$이다.$\displaystyle 0<t<\frac\pi4$일 때 $\displaystyle \cos2t>0$이므로 $\displaystyle \cos2t=\frac{1+\sqrt{17}}8$이다.$\displaystyle \alpha$를 $\displaystyle \cos2\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}8$를 만족하는 값이라 하자. (단, $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi4$) 그러면 $\displaystyle 0<t<\alpha$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이므로Correction. $\displaystyle 0<t<\alpha$일 때는 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이고, $\displaystyle \alpha<t<\frac\pi4$일 때는 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle t=\alpha$일 때 $\displaystyle f(t)$가 최대가 된다.점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \cos2\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}8$이다.점 Q의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \cos4\alpha=2\cos^2(2\alpha)-1=\frac{-7+\sqrt{17}}{16}$이다.