자연계열 2번

[문제 2] 정답: $\displaystyle f(\theta)=9\sin\theta+8\cos\theta$, 직선 $\displaystyle y=\frac98x$, $\displaystyle \sqrt{145}$

[풀이] $\displaystyle \angle\mathrm{OAB}=\alpha$라 하면 $\displaystyle \sin\alpha=\frac45,\ \cos\alpha=\frac35$이다. 점 O, A, P, B가 한 원 위에 있으므로$\displaystyle \angle\mathrm{BOP}=\angle\mathrm{BOA}-\angle\mathrm{AOP}=\frac\pi2-\theta,$$\displaystyle \angle\mathrm{OBA}=\frac\pi2-\alpha,$$\displaystyle \angle\mathrm{OAP}=\angle\mathrm{BAP}+\angle\mathrm{OAB}=\angle\mathrm{BOP}+\angle\mathrm{OAB}=\frac\pi2-\theta+\alpha.$삼각형 OAB의 외접원의 지름이 5이므로 사인정리를 적용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=5\sin\theta,$$\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=5\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=5\cos\theta,$$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=5\sin\left(\frac\pi2-\theta+\alpha\right)=5\cos(\theta-\alpha)$$\displaystyle =5\cos\theta\cos\alpha+5\sin\theta\sin\alpha=3\cos\theta+4\sin\theta$세 선분 OP, AP, BP의 길이의 합이 $\displaystyle f(\theta)$이므로$\displaystyle f(\theta)=5\sin\theta+5\cos\theta+3\cos\theta+4\sin\theta=9\sin\theta+8\cos\theta,$$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=9\cos\theta-8\sin\theta.$따라서 $\displaystyle \tan\theta_0=\frac98$인 $\displaystyle \theta_0$에서 $\displaystyle f(\theta)$가 최댓값 $\displaystyle \sqrt{9^2+8^2}=\sqrt{145}$를 가진다.한편, $\displaystyle \tan\theta_0=\frac98$일 때, 직선 OP의 방정식은 $\displaystyle y=\frac98x$이다.