자연계열 1번

(답) $\displaystyle (1,\ e)$

(풀이)점 A의 좌표를 $\displaystyle (a,e^{a})$이라 하자. 점 A와 점 B는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이고 점 A와 점 C는 원점에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}$이다. 삼각형 OBC는 이등변삼각형이고$\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{OCB}+\angle\mathrm{OBC}=2\angle\mathrm{OCB}=2\angle\mathrm{ACB}.$따라서, $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$의 크기가 최소일 때 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}$의 크기가 최소이다.

$\displaystyle y=e^{x}$의 그래프와 $\displaystyle y=\ln x$의 그래프가 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이고 점 A와 점 B가 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로, 직선 OA가 곡선 $\displaystyle y=e^{x}$의 접선일 때 직선 OB도 곡선 $\displaystyle y=\ln x$의 접선이고 이때 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$의 크기가 최소이다.

직선 OA가 곡선 $\displaystyle y=e^{x}$의 점 A에서의 접선이라고 하자. $\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$이므로 직선 OA의 기울기는 $\displaystyle e^{a}$이고, 직선 OA의 방정식은 $\displaystyle y=e^{a}x$이다. 이 직선이 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,e^{a})$를 지나므로 $\displaystyle e^{a}=e^{a}\times a$이다. 따라서 $\displaystyle a=1$이고 답은 $\displaystyle (1,\ e)$이다.