자연계열 4번

(답) $\displaystyle 8$

(풀이)점 P에서의 접선이 기울기가 $\displaystyle t$이고 직선 AP와 수직이므로 $\displaystyle t\times\frac{\frac{1}{2}t^{2}-b}{t-a}=\frac{t^{3}-2bt}{2(t-a)}=-1$이다. 정리하면$\displaystyle t^{3}-2(b-1)t-2a=0.$$\displaystyle f(t)=t^{3}-2(b-1)t-2a$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^{2}-2(b-1)$이다. $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$일 때 $\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2(b-1)}{3}}$ 이다.조건 (2)를 만족시키려면 $\displaystyle f(t)=0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

(i) $\displaystyle b=5$일 때$\displaystyle \sqrt{\frac{2(b-1)}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$ 이다. $\displaystyle f(t)=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $\displaystyle f\left(\sqrt{\frac{8}{3}}\right)\times f\left(-\sqrt{\frac{8}{3}}\right)<0$이다.따라서 $\displaystyle \left(\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}-8\sqrt{\frac{8}{3}}-2a\right)\left(-\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}+8\sqrt{\frac{8}{3}}-2a\right)<0$이고, $\displaystyle \left(a+\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}\right)\left(a-\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}\right)<0$이다.$\displaystyle -\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}<a<\frac{8}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}$이고, $\displaystyle a^{2}<\frac{512}{27}=18+\frac{26}{27}$이므로 $\displaystyle a\le 4$이다. 조건 (1)에 의해 $\displaystyle a=4$이다.

(ii) $\displaystyle b=6$일 때$\displaystyle \sqrt{\frac{2(b-1)}{3}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$ 이다. $\displaystyle f(t)=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $\displaystyle f\left(\sqrt{\frac{10}{3}}\right)\times f\left(-\sqrt{\frac{10}{3}}\right)<0$이다.(i)과 같이 풀면 $\displaystyle -\frac{10}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}<a<\frac{10}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}$ 을 얻는다.$\displaystyle a^{2}<\frac{1000}{27}=37+\frac{1}{27}$이므로 $\displaystyle a\le 6$이다. 조건 (1)에 의해 $\displaystyle a=4,5,6$이다.

(iii) $\displaystyle b=7$일 때$\displaystyle \sqrt{\frac{2(b-1)}{3}}=2$이다. $\displaystyle f(t)=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $\displaystyle f(2)\times f(-2)<0$이다.(i)과 같이 풀면 $\displaystyle -8<a<8$을 얻는다. 조건 (1)에 의해 $\displaystyle a=4,5,6,7$이다.따라서 조건 (1), (2)를 모두 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$의 개수는 $\displaystyle 1+3+4=8$이다.