통합계열 2번

[문제 2-1](답) (1) $\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$　(2) $\displaystyle \frac{5}{12}-\frac{\pi}{8}$

(풀이)(1) C의 좌표를 $\displaystyle (0,c)$라 하면 선분 AB의 길이는 $\displaystyle 2t$이고 C에서 선분 AB에 이르는 거리는 $\displaystyle \left|c-t^{2}\right|$이다.삼각형 ABC의 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 2t\times\left|c-t^{2}\right|=\frac{1}{4}$에서 $\displaystyle c=t^{2}\pm\frac{1}{4t}$이다.$\displaystyle c=t^{2}-\frac{1}{4t}$이면 원 $\displaystyle T$가 곡선에 접할 수 없으므로 $\displaystyle c=t^{2}+\frac{1}{4t}$이고 C의 좌표는 $\displaystyle \left(0,t^{2}+\frac{1}{4t}\right)$이다.

점 A에서 $\displaystyle y=x^{2}$에 접하는 직선은 $\displaystyle y=2tx-t^{2}$이다. 점 C에서 이 직선까지의 거리가 원 $\displaystyle T$의 반지름인 선분 AC의 길이와 같아야 하므로$\displaystyle \frac{\left|t^{2}+\frac{1}{4t}+t^{2}\right|}{\sqrt{1+4t^{2}}}=\sqrt{t^{2}+\frac{1}{16t^{2}}}$이를 풀면, $\displaystyle t^{2}-t+\frac{1}{4}=0$ 이므로, 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$이다.

(2) 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$과 직선 AC, 그리고 $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_{1}$이라 하고, 원 $\displaystyle T$의 내부를 선분 AC와 선분 CO로 잘라서 만들어지는 부채꼴 중 작은 것의 넓이를 $\displaystyle S_{2}$라 하면 구하는 넓이는 $\displaystyle 2(S_{1}-S_{2})$이다.

직선 AC의 방정식이 $\displaystyle y=-x+\frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle S_{1}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(-x^{2}-x+\frac{3}{4}\right)dx=\frac{5}{24}$이다.$\displaystyle S_{2}$는 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$이고 중심각이 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 부채꼴의 넓이이므로 $\displaystyle S_{2}=\frac{\pi}{16}$이다.구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle 2(S_{1}-S_{2})=2\left(\frac{5}{24}-\frac{\pi}{16}\right)=\frac{5}{12}-\frac{\pi}{8}$ 이다.

[문제 2-2](답) (1) $\displaystyle -20$　(2) $\displaystyle 9$

(풀이)(1) $\displaystyle f(a)>2a$인 함수 $\displaystyle f$의 개수는 다음처럼 계산하면 된다.$\displaystyle f(1)>2$이어야 하므로 $\displaystyle f(1)$은 3, 4, 5, 6, 7의 5가지가 가능하다.$\displaystyle f(2)>4$이어야 하므로 $\displaystyle f(2)$는 5, 6, 7의 3가지가 가능하다.$\displaystyle f(3)>6$이어야 하므로 $\displaystyle f(3)$은 7의 1가지가 가능하다.따라서 $\displaystyle p=5\times 3\times 1=15$ .

$\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle f(a)<f(b)$인 함수 $\displaystyle f$를 만들려면 $\displaystyle 1,\ 2,\ \cdots,\ n$에서 서로 다른 세 개의 숫자를 골라서 크기 순서로 $\displaystyle f(1),f(2),f(3)$으로 두면 된다.Correction. 여기서 $\displaystyle f$는 $\displaystyle g$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle q={}_{7}\mathrm{C}_{3}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$이고 $\displaystyle p-q=15-35=-20$이다.

(2) $\displaystyle f(a)>2a$인 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle p=(n-2)(n-4)(n-6)$이다.$\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle f(a)<f(b)$인 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle q={}_{n}\mathrm{C}_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ 이다. 따라서Correction. 여기서 $\displaystyle f$는 $\displaystyle g$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle p-q=(n-2)(n-4)(n-6)-\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{(n-2)\left(5n^{2}-59n+144\right)}{6}$ .

$\displaystyle n$이 7보다 크므로 $\displaystyle n-2>0$이다. 또한Correction. $\displaystyle n$은 7보다 큰 자연수가 아니라 7 이상의 자연수이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 5n^{2}-59n+144=5\left(n-\frac{59}{10}\right)^{2}-5\left(\frac{59}{10}\right)^{2}+144$이므로 $\displaystyle n>\frac{59}{10}$일 때 이차식 $\displaystyle 5n^{2}-59n+144$ 은 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 증가한다.문제의 조건에서 $\displaystyle n\ge 7$이므로 $\displaystyle 5n^{2}-59n+144$ 은 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 증가한다.$\displaystyle n=9$일 때 $\displaystyle 5n^{2}-59n+144=18>0$이므로 $\displaystyle n\ge 9$이면 $\displaystyle 5n^{2}-59n+144>0$이다.$\displaystyle n=8$일 때 $\displaystyle 5n^{2}-59n+144=-8<0$이므로 $\displaystyle p-q>0$을 만족하도록 하는 $\displaystyle n$의 최솟값은 9이다.

[문제 2-3](답) $\displaystyle 4,\ 7$

(풀이)삼각형 OAP에서 밑변 OA의 길이가 일정하므로 삼각형의 넓이가 최댓값을 갖는 것은 점 P에서 직선 $\displaystyle y=4x$에 이르는 거리가 최대일 때이다. 또한 이것은 점 P에서의 접선이 직선 $\displaystyle y=4x$와 평행할 때이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right)=4$이다.

$\displaystyle g(x)=f(x)-4x$라 하자. $\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다.0과 3이 방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 근이므로 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같은 형태이다.$\displaystyle g(x)=x(x-3)(x-b)$Comment. 풀이의 $\displaystyle g(x)=x(x-3)(x-b)$에서 $\displaystyle b$는 제시문의 최고차항 계수와 다른 값이다. 서로 다른 문자로 구분하면 혼동을 피할 수 있다.따라서 $\displaystyle f(x)=g(x)+4x=x(x-3)(x-b)+4x=x^{3}-(b+3)x^{2}+(3b+4)x$ 이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}-2(b+3)x+(3b+4)$ 이다.

$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right)=4$이므로 $\displaystyle 3\times\frac{16}{9}-2(b+3)\times\frac{4}{3}+(3b+4)=4$이다.따라서 $\displaystyle b=8$이고, $\displaystyle f(x)=x(x-3)(x-8)+4x=x^{3}-11x^{2}+28x=x(x-4)(x-7)$이다.$\displaystyle f(x)=0$의 근이 0, 4, 7이므로 $\displaystyle f(x)=0$의 0이 아닌 두 근은 4, 7이다.