자연계열 2번

(답) (1) $\displaystyle \frac{1}{15}$　(2) $\displaystyle 59$

(풀이)(1) 10장의 카드가 들어있는 상자에서 세 장의 카드를 꺼내는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{3}$이다. 카드에 적힌 수 중 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 9이면, 가장 큰 수는 10, 가장 작은 수는 1이다. 나머지 수는 $\displaystyle 2,3,\ \cdots,9$의 8가지 경우가 가능하다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P}(X=9)=\frac{8}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}}=\frac{1}{15}$

(2) $\displaystyle \mathrm{P}(X=k)$를 구하자. (단, $\displaystyle 2\le k\le n-1$)$\displaystyle n$장의 카드가 들어있는 상자에서 세 장의 카드를 꺼내는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{3}$이다. 세 장의 카드에 적힌 수 중 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 $\displaystyle k$이므로, 세 장의 카드에 적힌 수를 크기순으로 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$라 하면 $\displaystyle c=a+k$이다. $\displaystyle a+k\le n$이므로 $\displaystyle a\le n-k$이다. 따라서 $\displaystyle a$가 될 수 있는 수는 $\displaystyle 1,\ 2,\ \cdots\ ,n-k$로 $\displaystyle n-k$가지이다. 각각의 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle a<b<a+k$이므로 $\displaystyle b$는 $\displaystyle a+1$부터 $\displaystyle a+k-1$까지의 수 중 하나이다. 따라서 각각의 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle b$가 될 수 있는 수는 $\displaystyle k-1$가지이다. 따라서 카드에 적힌 세 개의 수 중 가장 큰 수에서 가장 작은 수를 뺀 값이 $\displaystyle k$인 것은 총 $\displaystyle (n-k)\times(k-1)$가지가 있다.따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(X=k)=\frac{(n-k)(k-1)}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}$ 이다.

기댓값은$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{E}(X) &=\frac{1}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=2}^{n-1}k(n-k)(k-1)=\frac{1}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=1}^{n}k(n-k)(k-1) \\ &=\frac{1}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=1}^{n}\left(-k^{3}+(n+1)k^{2}-nk\right) \\ &=\frac{6}{n(n-1)(n-2)}\left\{-\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+\frac{n(n+1)^{2}(2n+1)}{6}-\frac{n^{2}(n+1)}{2}\right\} \\ &=\frac{n+1}{2} \end{aligned}$

$\displaystyle \mathrm{E}(X)=30$이므로 $\displaystyle \frac{n+1}{2}=30$이고, $\displaystyle n=59$이다.